La integralde la función

Imagino que quieres decir el área comprendida entre las dos funciones, vamos a hacer la gráfica.

Vemos que es simétrica, luego basta integran entre 0 y pi/4 y multiplicar por 2

$$\begin{align}&Area=2\int_0^{\pi/4}(sec^2x-cosx)dx=\\ &\\ &\\ &2\left[tgx-senx \right]_0^{\pi/4}=\\ &\\ &2\left(1-\frac{\sqrt 2}{2}-0+0\right)=2-\sqrt 2\approx\\ &\\ &\\ &0.5857864376\end{align}$$

Y eso es todo.