Problema de calculo 1 razones relacionadas.

Son ejercicios complicados los que mandas, por eso me parece mentira que tengas esos prejuicios a usar los sistemas de coordenadas cuando son necesarios para entender y resolver bien los problemas.

Tenemos que calcular cual será el nivel del agua en cada instante. Ese nivel será la altura alcanzada, y para calcularla tendremos que usar la fórmula del volumen del depósito

Supongamos que el nivel es la altura h, vamos a calcular la cantidad de agua que hay.

Lo primero es calcular el área del trapecio isósceles cubierto de agua. Conocemos la altura y la base mayor, nos falta conocer la base menor ( o de arriba). Se puede hacer por semejanza de triángulos o por ecuación de la recta, lo que prefieras.

Por semejanza:

AEG y ADH son triángulos semejantes, luego por el teorema de Thales:

AG/AH = EG/DH

AG/1 = h/3

AG = h/3

EF = 5-2h/3

Luego

Área = (Base mayor + base menor) x altura / 2

se queda en

Área = (5 + 5 -2h/3)·h / 2 = (10-2h/3)·h/2 = 5h-(h^2)/3 m^2

Y como la longitud del depósito es 15, tendremos

V = 15[5h - (h^2)/3] = 75h-5h^2 m^3

Esos son los metros cúbicos que han entrado cuando la altura es h. Como cada minuto entran 5 m^3 quiere decir que el tiempo transcurrido es

(75h-5h^2)/5 = 15h-h^2 minutos

Tenemos por tanto la función

t = 15h-h^2

Pero la que nos interesa es la inversa, saber la altura en función del tiempo.

Hay dos formas

1)

h^2 - 15h + t = 0

h = [15 +- sqrt(225 - 4t)] / 2

Si tomamos el signo + tendremos que en el instante 0 la altura es 30, luego debemos tomar la de signo -

h(t) = [15 - sqrt(225 -4t)] / 2

Y la velocidad con que crece la altura es la derivada de la altura respecto del tiempo

h '(t) = [4/2sqrt(225-4t)]/2 = 1/sqrt(225-4t)

Y para calcular la velocidad cuando h = 2 calculamos el tiempo que ha transcurrido

t = 15h - h^2 = 30 - 4 = 26 minutos

h'(26) = 1/ sqrt(225-4·26) = 1/sqrt(121) = 1/11 m/min

2)

Esta no sé si te servirá, mira a ver si puedes usarla dependiendo de lo que hayas estudiado.

Puesto que h es una función de t derivamos esta expresión de la función respecto t

t = 15h-h^2

1 = 15h' - 2hh' = (15-2h)h'

h'(t) = 1/(15-2h)

h'(2) = 1/(15-2·2) = 1/11 m/min

Bueno la respuesta es distinta pero debe ser por una mera confusión de lenguaje. Tu preguntabas

"cuando la profundidad de esta es dos metros" Y por lo que veo querías decir que había dos metros de aire por arriba, yo interprete que había 2 metros de agua por abajo.

Pues basta con cambiar y poner h =1 en lugar de 2. Asi la resolución por el método primero es:

t = 15h-h^2 = 15-1 = 14 minutos

h'(14) = 1/sqrt(225 - 4·14) = 1/sqrt(225-56) = 1/sqrt(169) = 1/13 m/min

Y por el método segundo es

h'(1) = 1/(15-2h) = 1/(15-2·1) = 1/13 m/min

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Interesante ejercicio este.