Problema de Álgebra - Trigonometría
Hola Valero!
Resolver este sistema de ecuaciones...
$$cosx+2seny=2$$
$$senx+2cosy=\sqrt{3}$$Gracias!
1 Respuesta
Se me ocurre que elevando al cuadrado ambas se pueda simplificar bastante.
cos^2(x) + 4sen^2(y) + 4cosx·seny = 4
sen^2(y) + 4cos^2(y) + 4senx·cosy = 3
Y ahora las sumamos sabiendo que cos^2(a)+sen^2(a) = 1
1 + 4 + 4cosx·seny + 4senx·cosy = 7
4cosx·seny + 4senx·cosy = 2
cosx·seny + senx·cosy=1/2
Y ahora hay que ver que lo de la izquierda es la fórmula del seno de la suma de dos ángulos
sen(x+y) = 1/2
x+y = 30º o 150º o 390º o 510º, etc
Se puede comprobar fácilmente que x=0º, y=30º es una solución
Pero la otra u otras soluciones no son nada fáciles:
De lo calculado antes tenemos x=30-y. Vamos con la ecuación primera
cos(30-y) + 2seny = 2
cos30·cosy + sen30·seny + 2seny = 2
[sqrt(3)/2]cosy + (1/2)seny + 2seny = 2
[sqrt(3)/2]cosy + (5/2)seny = 2
sqrt(3)cosy + 5seny = 4
Elevamos de nuevo al cuadrado
3cos^2(y) + 25sen^2(y) + 10sqrt(3)senycosy = 16
3 + 22sen^2(y) + 10sqrt(3)senycosy = 16
10sqrt(3)senycosy = 13 - 22sen^2(y)
De nuevo elevamos al cuadrado
300sen^2(y)cos^2(y) = 169 + 484sen^4(y) - 572sen^2(y)
784sen^4(y) - 872sen^2(y) + 169 = 0
Llamando z = sen^2(y) tenemos
z = [872 +- sqrt(760384 - 529984)] / 1568 =
[872+-480] / 1568 = 1/4 y 169/196
Y el seny es la raíz cuadrada de eso, luego
seny = +-1/2 y +-13/14
Recordemos que debe cumplir la ecuación
cosx + 2seny = 2
Cualquiera de los 2 (seno o coseno) que sea negativo lo hace imposible, luego el conjunto de respuestas es
seny = 1/2 o 13/14
Cuando para resolver ecuaciones se elevan miembros al cuadrado, pueden aparecer mas soluciones de las que realmente son soluciones, se llaman soluciones fantasma y hay que comprobarlas con la ecuación original para ver si valen,
La primera respuesta es la que ya había vaticinado y funciona
y=30º
x = 30º-y = 0
cos0º + 2sen30º = 1+2(1/2) = 2
La segunda sería
y = 150º
x = -120º
No la cumple porque cos(-120º) es negativo
La tercera sería
y = arcsen(13/14) = 68.2132107º
x = -38.2132107º
cos(-38.2132107) + 26/14 = 0.7857143257 + 26/14 = 2.642857183
no funciona
La cuarta sería
y = 180º - 68.2132107º = 111.7867893
x = -81.7867893º
cos(-81.7867893) + 2sen(111.7867893) = 0.1428571428 + 26/14 = 2
funciona
Pues ya hemos obtenido 2 soluciones. Para obtener más tendríamos que volver a resolver la ecuación suponiendo x+y = 150º y otras posibles. Es pesadísimo.
cos(150-y) + 2seny = 2
cos150·cosy + sen150·seny + 2seny = 2
-[sqrt(3)/2]cosy + (1/2)seny + 2seny = 2
-[sqrt(3)/2]cosy + (5/2)seny = 2
-sqrt(3)cosy + 5seny = 4
Elevamos al cuadrado
3cos^2(y) + 25sen^2(y) - 10sqrt(3)senycosy = 16
3 + 22sen^2(y) - 10sqrt(3)senycosy = 16
- 10sqrt(3)senycosy = 13 - 22sen^2(y)
De nuevo elevamos al cuadrado
300sen^2(y)cos^2(y) = 169 + 484sen^4(y) - 572sen^2(y)
Hemos llegado a la misma ecuación de antes, luego las posibles soluciones para y son las mismas, lo que cambiaran serán las de x
Luego seny = 1/2 o 13/14
La primera solución posible sería
y = 30º
x = 120º
no va a poder ser porque cos120 es negativo
La segunda
y=150º
x = 0º
cos0º + 2sen150 = 1 + 2(1/2) = 2
es válida
La tercera
y = 68.2132107º
x = 81.7867893º
cos(81.7867893º) + 2sen(68.2132107º) = 0.1428571428 + 26/14 = 2
funciona
La cuarta
y = 180º - 68.2132107º = 111.7867893
x = 38.2132107
cos(38.2132107) + 26/14 = 0.7857142857 + 26/14 = 2.642857143
no funciona.
Y esas son las 4 soluciones para ángulos en [0, 360)
x=0º, y = 30º
x = -81.7867893º, y = 111.7867893º
x = 0º, y = 150
x = 81.7867893º, y = 68.2132107º
En mi opinión ha sido un tanto complicado. A no ser que en el libro haya alguna forma más sencilla de resolver se me hace de un nivel muy superior a otros que me estás mandando.
Muchísimas gracias! Valeroasm!
La verdad este problema lo escogí de internet!
Es que pues ando practicando este tipo de problemas y pues no supe hacerlo D:
asi que enserio muchas gracias!
