Hallar la longitud de la curva r = 1+sen (cita)

Si, necesito la fórmula. En coordenadas polares no he trabajado prácticamente nada.

Esa figura se llama cardioide y para obtener la curva completa se debe tomar el intervalo de ángulos [0, 2pi]. La longitud será

$$\begin{align}&l=\int_0^{2\pi}\sqrt{(1+sen \theta)^2+\cos^2 \theta }d\theta=\\ &\\ &\int_0^{2\pi}\sqrt{1+sen^2\theta+2sen\theta+\cos^2\theta}d\theta=\\ &\\ &\int_0^{2\pi}\sqrt{2+2sen\theta}d\theta=\\ &\\ &\text{Si nos hubieran dado la ecuación con }\cos\theta\\ &\text{no haría falta hacer esto}\\ &\\ &\\ &\int_0^{2\pi}\sqrt{2+2cos\left(\frac{ \pi}{2}-\theta\right)}d\theta=\\ &\\ &\\ &\int_0^{2\pi}\sqrt{2+2cos\left(\theta-\frac{ \pi}{2}\right)}d\theta=\\ &\\ &\int_{-\pi/2}^{3\pi/2}\sqrt{2+2cos\theta}d\theta=\\ &\\ &\\ &\int_{-\pi/2}^{3\pi/2}\sqrt{4cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}d\theta=\\ &\\ &2\int_{-\pi/2}^{3\pi/2}\left|\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right|d\theta=\\ &\\ &2\int_{-\pi/2}^{\pi}\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)d\theta -2\int_{\pi}^{3\pi/2}\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)d\theta=\\ &\\ &4\left.sen\left(\frac{\theta}{2}\right)  \right|_{-\pi/2}^{\pi}-4\left.sen\left(\frac{\theta}{2}\right)  \right|_{\pi}^{3\pi/2}\\ &\\ &4 +4 \frac{\sqrt 2}{2}-4 \frac{\sqrt 2}{2}+4 =8\end{align}$$

Luego la longitud es 8.

Y eso es todo.