Anónimo
Necesito ayuda con un ejercicio de matemáticas
Hola: tengo un ejercicio de matemática "Dado un entero n. Sea R(n) la suma de los recíprocos de todos los divisores.
Ejemplo si N=10, los divisores son (1, 2, 5, 10), entonces R(N) = (1/1)+(1/2)+(1/5)+(1/10)=(18/10) = (9/5)
Encuentre todos los N, 1= N = 10^8, tal que R(N) sea un entero.
Bueno yo primero descarte absolutamente los numero primos, porque R(n) no sería un numero entero, sino un numero racional.. Por ejemplo si sea N=3, y R(n)= 4/3..
Luego continué jugando con la suma de los divisores y enconter una particularidad, que podrían ser números perfectos con la característica de n= 2^(k-1) ((2^k)-1), donde ((2^k)-1) es un numero primo..
De esta manera encontré estos números 1, 6, 28, 120, 496, 8128, 130816, 33550336., pero luego trate de tomar un numero que no cumple con estas condiciones y confirme esto, pero luego tome otro numero, y mi hipótesis quedo totalmente derrotada, es decir, encontré un numero que no cumple con estas condiciones anteriores, pero que si cumple con la suuma de sus recíprocos es un numero entero, me refiero al numero 120.
entonces ya no se que más hacer... ¿usted me ayudaría?, puede que no este tomando encuenta algo.. Por favor.. Se lo agradecería un montón..
De ante mano muchas gracias,,
Ejemplo si N=10, los divisores son (1, 2, 5, 10), entonces R(N) = (1/1)+(1/2)+(1/5)+(1/10)=(18/10) = (9/5)
Encuentre todos los N, 1= N = 10^8, tal que R(N) sea un entero.
Bueno yo primero descarte absolutamente los numero primos, porque R(n) no sería un numero entero, sino un numero racional.. Por ejemplo si sea N=3, y R(n)= 4/3..
Luego continué jugando con la suma de los divisores y enconter una particularidad, que podrían ser números perfectos con la característica de n= 2^(k-1) ((2^k)-1), donde ((2^k)-1) es un numero primo..
De esta manera encontré estos números 1, 6, 28, 120, 496, 8128, 130816, 33550336., pero luego trate de tomar un numero que no cumple con estas condiciones y confirme esto, pero luego tome otro numero, y mi hipótesis quedo totalmente derrotada, es decir, encontré un numero que no cumple con estas condiciones anteriores, pero que si cumple con la suuma de sus recíprocos es un numero entero, me refiero al numero 120.
entonces ya no se que más hacer... ¿usted me ayudaría?, puede que no este tomando encuenta algo.. Por favor.. Se lo agradecería un montón..
De ante mano muchas gracias,,
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Es muy pregunta esta. Pero llevo unos días sin ordenador en condiciones porque lo he cambiado y no tenía tiempo para ponerme con ella.
Simplemente te doy dos apuntes que supongo ya los habrás visto tú.
Para calcular R(n) ponemos como denominador común el propio n Y los numeradores que surgen son los propios divisores de n, esta vez ordenados de mayor a menor, luego:
R(n) = (Sumatorio de los divisores de n) / n
Y por tanto la suma de los divisores debe ser múltiplo de n
De ahí se deducen cosas que tu decías.
Los primos no sirven pues solo tienen divisores n y 1
(n+1) / n no es entero salvo para n=1
Los números perfectos serviran cualesquiera. Pues la suma de sus divisores es 2n
con lo que R(n) = 2
Los números n= 2^(k-1) ((2^k)-1), donde ((2^k)-1) es un numero primo sirven puesto que la suma de sus divisores serápor una fórmula que luego te detallo:
(1+2+...+2^(k-1))(1+2^k-1) = 2^(k-1) 2^k = 2n
La fórmula es dice que sin se descompone así en números primos:
n = p1^k1·p2^k2···pr^kr
La suma de sus divisores es:
(1+p1+p1^2+...+p1^k1)(1+p2+p2^2+...+p2^k2)···(1+pr+pr^2+...+pr^kr)
Y esto te digo de momento por si te sirve de algo. Ya sabes que estos problemas de números primos pueden tener mil sorpresas.
Si no cierras la pregunta o puntúas y mandas otra podría investigar algo más siempre que tenga tiempo.
Simplemente te doy dos apuntes que supongo ya los habrás visto tú.
Para calcular R(n) ponemos como denominador común el propio n Y los numeradores que surgen son los propios divisores de n, esta vez ordenados de mayor a menor, luego:
R(n) = (Sumatorio de los divisores de n) / n
Y por tanto la suma de los divisores debe ser múltiplo de n
De ahí se deducen cosas que tu decías.
Los primos no sirven pues solo tienen divisores n y 1
(n+1) / n no es entero salvo para n=1
Los números perfectos serviran cualesquiera. Pues la suma de sus divisores es 2n
con lo que R(n) = 2
Los números n= 2^(k-1) ((2^k)-1), donde ((2^k)-1) es un numero primo sirven puesto que la suma de sus divisores serápor una fórmula que luego te detallo:
(1+2+...+2^(k-1))(1+2^k-1) = 2^(k-1) 2^k = 2n
La fórmula es dice que sin se descompone así en números primos:
n = p1^k1·p2^k2···pr^kr
La suma de sus divisores es:
(1+p1+p1^2+...+p1^k1)(1+p2+p2^2+...+p2^k2)···(1+pr+pr^2+...+pr^kr)
Y esto te digo de momento por si te sirve de algo. Ya sabes que estos problemas de números primos pueden tener mil sorpresas.
Si no cierras la pregunta o puntúas y mandas otra podría investigar algo más siempre que tenga tiempo.