Dimensión del subespacio generado

Este tipo de problema se resuelve colocando por filas los elementos de la matriz y resolviendo el determinante o el rango de la matriz que surge. Si el rango es máximo o el determinante distinto de 0 son linealmente independientes y si no son linealmente dependientes.

Una ventaja del cálculo mediante operaciones de sumar filas multiplicadas por algo a otras, es que vamos a ir encontrando vectores más sencillos que generan el mismo subespacio que los originales.

 1   2  -1   1     1   2  -1  1
-2  -1   3   2     0   3   1  4 
-1   7   4   1  ~  0   9   3  2  ~
-2   8   6   2     0  12   4  4
1   2  -1   1      1  2  -1   1 
0   3   1   4      0  3   1   4 
0   0   0 -10  ~   0  0   0 -10
0 0 0 -12 0 0 0 0

Y el rango es 3 luego son linealmente dependientes, solo se pueden tomar tres que sean independientes.

Vamos a afinar más los vectores generadores mediante operaciones de filas, la tercera se multiplica por -1/10 y luego se suma conveniente multiplicada a la 1 y 2. Y finalmente la 2 se suma a la 1

1  2 -1  1    1  2 -1  0     1 5 0 0
0  3  1  4  ~ 0  3  1  0  ~  0 3 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Y ese es el conjunto más sencillo que genera el mismo espacio que teníamos al principio

El espacio será el conjunto de las matices de la forma

(a  5a+3b)
(b    c  ) 

para todo a,b,c € K

La base ya estaba encontrada

B = { (1 5)   (0 3)   (0 0) }
    { (0 0) , (1 0) , (0 1) }

Y la dimensión es 3.