Demostraciones de sucesiones 1
Sea U cualquier espacio métrico con la métrica discreta dD. Sólo usando la definición, demuestra que si {Un} es cualquier sucesión de Cauchy en U, entonces converge.
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La métrica discreta es aquella en que la distancia entre un punto y si mismo es 0 y la distancia con un punto distinto es 1.
Si es una Sucesión de Cauchy tomemos epsilon = 1/2 Existirá un numero natural N tal que para todos n, m >N se cumpla d(Un, Um) < epsilon = 1/2
Después de N no podrá haber dos puntos distintos, ya que su distancia sería 1 que es mayor que epsilon, luego tenemos
Para todo n>N se cumple Un=k con k € U
Y ahora tomamos k y vemos que la sucesión converge a k ya que
Para todo epsilon > 0 podemos tomar el N que se obtuvo antes y entonces para todo n >N tenemos
d(Un, k) = 0 < epsilon
Y eso es todo.
