Problema con la solución de matrices Inversión
Curso la modalidad a distancia y tengo que resolver este problema por medio de matrices y no por el método de sustitución y no sé como realizar las matrices.
Gracias por su apoyo y espero su ayuda.
PROBLEMA
Un analista financiero tiene 1,000,000 para invertir en tres cuentas diferentes. Las cuentas pagan el 6% para "z", 8% para "x" y 10% para "y" respectivamente. El objetivo es ganar $86,000 de manera que la cantidad invertida con una tasa de 10% sea igual a la suma de las otras dos inversiones.
Se pide:
a). Determinar cuanto se invertirá en cada cuenta para satisfacer las condiciones.
1 respuesta
Planteamos las ecuaciones.
x + y + z = 1.000.000
Estos son los intereses que se cobra
0,08x + 0,10y + 0,06z = 86.000
Vamos a multiplicarla por 100 para que queden números enteros
8x + 10y + 6z = 8.600.000
Y finalmente, como la cuenta del 10% es y tenemos
y = x + z
que ponemos en la misma forma que las otras
x - y + z = 0
Y uno que es perro viejo se da cuenta que es mejor que esta última ecuación vaya la segunda. Formamos la matriz de la ecuación, a la izquierda los coeficientes y a la derecha los resultados
$$\begin{pmatrix}
1&1&1&|&1.000.000\\
1&-1&1&|&0\\
8&10&6&|&8.600.000
\end {pmatrix}$$Y el método que usaré es el de Gauss, consiste en sumar filas multiplicadas por algo a otra para conseguir ceros debajo de la diagonal principal. Está bien claro, multiplicamos la primera por (-1) y se la sumamos a la segunda, y también multiplicamos la primera por (-8) y se la sumamos a la tercera. Hay quien prefiere restar en vez de multiplicar por un número negativo y sumar. Allá él, a mí me ha dado siempre mejor resultado lo que digo.
$$\begin{pmatrix}
1&1&1&|&1.000.000\\
0&-2&0&|&-1.000.000\\
0&2&-2&|&600.000
\end{pmatrix}\sim
\\
\begin{pmatrix}
1&1&1&|&1.000.000\\
0&-2&0&|&-1.000.000\\
0&0&-2&|&-400.000
\end{pmatrix}$$Y ya no sería necesario seguir con las matrices, se trata de ahorrar pasos con ellas porque reescribir una matriz entera cuesta mucho trabajo y necesita muchos árboles.
Ya tenemos
- 2z= - 400.000
z=200.000
Y también
-2y = 1.000.000
y = 500.000
y finalmente
x + 500.000 + 200.000 = 1.000.000
x = 300.000
Luego la respuesta es
x=300.000
y=500.000
z=200.000
Y eso es todo, este el el método que se suele emplear. Si te obligan a obtener la matriz unitaria continuarías dividiendo por -2 las filas segunda y tercera y luego restándolas a la primera.
Si te obligan a obtener la solución multiplicando la matriz inversa por el vector de resultados ya sería una pregunta muy compleja y si quieres que la resuelva cierras esta y me mandas una nueva pregunta. SI te ha quedado alguna duda referente a este problema consúltame, y si ya está bien no olvides puntuar para tener derecho a futuras consultas.
Hola valroasm, te agradezco todo el tiempo que inviertes para apoyarme y poder cumplir con mis expectativas de superación, pondré mucha atención en tus soluciones para mejorar en matemáticas.
Gracias por tu apoyo.
disculpa en las matrices con que multiplicas o divides la ultima para que te quede solo el -2 que le corresponde a z. gracias - alejandro issac mijangos
En el último paso simplemente se suma la segunda a la tercera. Si lo quieres expresar en la forma suma de una fila multiplida por algo, puedes decir que la segunda multiplicada por 1 se suma a la tercera.Saludos - Valero Angel Serrano Mercadal