Problema de progresión Aritmética
Entre Bogotá e Ibagué hay aproximadamente 165 kilómetros. Dos
caminantes parten cada uno de una ciudad hacia la otra. ¿A los
cuántos días se encuentran si el que va de Ibagué a Bogotá camina
1 km el primer día, 2 km el segundo día, 3 km el tercer día y así
sucesivamente, el otro en sentido contrario, es decir Bogotá – Ibagué, camina 20 km el primer día, 18 km el segundo día, 16 km el
tercer día y así sucesivamente?
¿Cuántos kilómetros recorre cada uno?
1 Respuesta
El primer caminante recoore kilómetros diarios en una sucesión
an=n
y el segundo
an = 22-2n
La formula de los n primeros términos de una sucesión aritmética es:
Sn= n(a1+an)/2
El caminante primero en n días recorrerá
S1n = n(1+n)/2 = n/2 + (n^2)/2
y el caminante segundo
S2n = n(20 + 22-2n)/2 = n(42-2n)/2 =42n/2 - 2(n^2)/2
Y entre los dos han debido recorrer 165 km
n/2 + (n^2)/2 +42n/2 - 2(n^2)/2 = 165
Multiplico todo por 2
n + n^2 + 42n -2n^2 = 330
-n^2 + 43n - 330 = 0
n^2 - 43n +330 = 0
n = [43 +- sqrt(43^2 - 4·330)]/2 =
[43 +- sqrt(1849-1320)]/2 =
[43 +- sqrt(529)]/2 =
(43 +- 23) / 2
Las soluciones son 33 y 10
La primera vez que se encuentran es a los 10 días luego esa es la que vale.
¿Y por qué sale también 33 te preguntarás?
Muy sencillo, seguirán andando, y llegado cierto punto el caminante dos entra en recorridos negativos de kilómetros, eso significa que se pone a andar hacia atrás como Michael Jackson y además con una velocidad que llega a superar la del otro y le pilla.
Luego la respuesta es a los 10 días
Y eso es todo.
