Matemática aplicada a la economía

Buen día: necesito que me ayudes:
Necesito saber la cantidad de artículos que maximiza y minimiza las ganancias y cuales son estas. Ya hice bastantes pasos, te paso las funciones:
q=0,5(1000-p)
IT= -2q(elevada al cuadrado)+1000q
Bt= -q(elevada al cubo)-2q(elevada al cuadrado)+997q - 4 si a esto lo igualo a cero y saco raíces me da que la cantidad expresada en miles de pesos es 1757 y ahí es donde se maximiza, pero a la pregunta cuales son estas, ahí no se en que función remplazar esta cantidad.
Gracias

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5.854.025 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

Imagino que el problema te da como único dato la función de la demanda que es

q=0,5(1000-p)
y lo demás lo has deducido tu
q/0,5 = 1000-p
2q = 1000-p
p = 1000-2q
IT(q) = p·q = (100-2q)·q = 1000q - 2q^2
 Hasta ahí estamos de acuerdo, pero lo siguiente que has hecho no lo entiendo...
¡Ah, debe ser que no me has dado la formula de costo total!
¿Me la podrías dar para así poder hacer yo el problema?
Por lo que has puesto deduzco que
CT(q) = q^3 + 3q + 4
 Ya me dirás si era eso
Entonces
BT(q) = -q^3 -2q^2 + 997q - 4
Derivamos e igualamos a cero
BT'(q) = -3q^2 - 4q + 997 = 0
Le cambiamos de signo
3q^2 +4q -997 = 0
Es una ecuación de segundo grado que resolvemos
q = [-4 +- sqrt(16 + 4·3·997)]/6 =
[-4 +- sqrt(11980)]/6 = (-4 +- 109,45319) / 6
q1=-18,908865 NO nos sirve por ser negativa
q2 = 17,575532
 Para saber si es máximo o mínimo usaré el criterio de la derivada segunda, si es positiva es mínimo y se es negativa es máximo.
BT''(q) = -6q - 4
BT''(17,575532 = -6·17,575532 - 4 = - 109,45319

 Luego es un máximo
Como supongo que no se pueden fabricar fracciones de unidad habrá que tomar el valor 17 o 18, lo elegiremos dependiendo de cuál de un valor mayor
BT(17) = -17^3 - 2·17^2 + 997·17 - 4 = 11454
BT(18) = -18^3 - 2·18^2 + 997·18 - 4 = 11462
Luego el máximo se obtiene con 18 unidades y es 11462.
Creo que a ti se te olvidó derivar la función BT antes de calcular las raíces.

Y eso es todo.

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