Como construir una función de múltiples variables desde un muestreo de datos
Buenos días. Mi duda es, que teniendo un muestro de datos, como puedo construir una función que me recoja (lo más exacto posible) todas las variables. Por ejemplo, si mis variables son tres (x-y-z) y tengo el muestreo con los resultados de 4 ensayos (R=Resultados), tengo como punto de partida:
R1 con los datos x1-y1-z1
R2 con los datos x2-y2-z2
R3 con los datos x3-y3-z3
R4 con los datos x4-y4-z4
El objetivo sería encontrar una función del tipo:
R=Ax+By+Cz+D...algo de este tipo para que en función de otras variables x-y-z que le meta, me de un resultado R lo más aproximado posible.
Muchas gracias,
Un saludo
1 respuesta
Voy a usar el método que se usaría para una sola variable a tres, veamos si no sale muy complicado.
La rectas de regresión pasan por el punto que tiene por coordenadas las medias de los datos de cada variable. Supondremos que aquí en un espacio de dimensión 4 el espacio de regresión de dimensión 3 pasa por el punto definido por las medias de los datos, las medias de x, y, z, R.
Con el fin de facilitar las cuentas se toma como origen de coordenadas ese punto y se tildan las variables nuevas con asteriscos.
x* = x - x_
y* = y - y_
z* = z - z_
R* = R - R_
donde x_, y_, z_, R_ son la medias de los datos obtenidos.
La ecuación del espacio de regresión en este sistema de coordenadas es
R* = ax* + by* + cz* + d
Debemos hacer mínima la función suma de los cuadrados de las diferencias entre valores reales y los que se obtienen de la función. En vez de para 4 datos voy a resolver para n datos.
SC(a,b,c,d) = [R1-R_ - a(x1-x_) - b(y1-y_) - c(z1-z_) - d]^2 +
[R2-R_ - a(x2-x_) - b(y2-y_) - c(z2-z_) - d]^2 +
... +
[Rn-R_ - a(xn-x_) - b(yn-y_) - c(zn-z_) - d]^2 =
Con Sum expresaré el sumatorio desde i=1 hasta n
Sum {[Ri-R_ - a(xi-x_) - b(yi-y_) - c(zi-z_) - d]^2}
Para que sea mínimo deben ser cero todas las derivadas parciales respecto a, b, c y d
SC'a(a,b,c,d) = - Sum {(xi-x_)[Ri-R_ - a(xi-x_) - b(yi-y_) - c(zi-z_) - d]} = 0
SC'b(a,b,c,d) = - Sum {(yi-x_)[Ri-R_ - a(xi-x_) - b(yi-y_) - c(zi-z_) - d]} = 0
SC'd(a,b,c,d) = - Sum {(zi-x_)[Ri-R_ - a(xi-x_) - b(yi-y_) - c(zi-z_) - d]} = 0
SC'e(a,b,c,d) = - Sum [Ri-R_ - a(xi-x_) - b(yi-y_) - c(zi-z_) - d] = 0
Tomamos la última y la ponemos de esta forma
- Sum(Ri-R_) - a·Sum(xi-x_) - b·Sum(yi-y_) - c·Sum(zi-z_) - d = 0
Pero cada uno de esos sumatorios es cero ya que en el primero por ejemplo
Sum(Ri-R_) = (Sum R_i) -nR_ = (Sum R_i) - n (Sum R_i)/n = 0
Lo mismo pasa con los otros.
En resumen, que la última ecuación queda en
d = 0
Y ahora habría que resolver el sistema de las tres primeras ecuaciones con d=0
Pero como puedes ver es practicamen te imposible de resolver teoricamente, si acaso podria hacerse con datos numéricos concretos. Mándalos si acaso, pero hazlo en otra pregunta nueva, que son cálculos bastante fuertes.
Y eso es todo.
muchas gracias por tu aclaración valeroasm.me ha quedado claro que es mucho más complicado de lo que yo pensaba.necesito aclarar las ideas e intentar orientarlo de forma que tenga que trabajar con menos variables.
cuando tenga un muestreo representativo, te hago llegar de nuevo la pregunta con datos concretos,para ver como se resolvería un caso especifico.
realmente ha sido una gran ayuda, porque me ha servidodo para reorientar mi metodologia de planteamiento inicial.
un saludo.
