Demostración de desigualdades

Hagamos unas cuantas cosas.

$$\begin{align}&x \lt y\\ &\\ &\sqrt x \lt \sqrt y\\ &\\ &0\lt \sqrt x - \sqrt y \\ &\\ &0 \lt(\sqrt x - \sqrt y)^2\\ &\\ &0 \lt x+y-2 \sqrt x \sqrt y\\ &\\ &0 \lt x+y - 2 \sqrt{xy}\\ &\\ &2 \sqrt{xy} \lt x+y\\ &\\ &\sqrt{xy} \lt \frac{x+y}{2}\\ &\\ &\\ &\text{por otro lado}\\ &\\ &x\lt y\\ &\\ &xx \lt xy\\ & \\ &\sqrt{xx} \lt \sqrt{xy}\\ &\\ &x \lt \sqrt{xy}\\ &\\ &\\ &\text{y por otro}\\ &\\ &x \lt y\\ &\\ &x+y \lt y+y\\ &\\ &\frac{x+y}{2}\lt \frac{y+y}{2}\\ &\\ &\frac{x+y}{2}\lt y\\ &\\ &\text{y juntándolo todo}\\ &\\ &x\lt \sqrt{xy}\lt \frac{x+y}{2}\lt y\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.