Pregunta 2 de matemática 3

Hola valeroasm!

Parametrize la curva y: x+y=2*z^2, x^2+y^2=2z en un punto que se encuentra en la recta L:x=y=z

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No entiendo que es parametrizar una curva en un punto. ¿Es hacer que para el valor 0 del parámetro obtengamos ese punto?

No lo sé lo que supongo es que te piden que evalúes en 1,1,1; pero lo mas importante es parametrizar la curva

Elevamos la segunda al cuadrado

(x^2+y^2)^2 = 4z^2

[(x^2+y^2)^2] / 2 = 2z^2

Igualamos esta con la primera

x+y = [(x^2+y^2)^2] / 2

2x + 2y = x^4 + y^4 + 2x^2·y^2

No llegamos a nada, probemos de otra forma

La segunda es

x^2+y^2=2z

x^2 + y^2 + 2xy - 2xy = 2z

(x+y)^2 -2xy = 2z

como por la primera x+y = 2z^2 tenemos

4z^4 - 2xy = 2z

xy = 2z^4 - z

Si le damos un valor t a z tenemos este sistema

xy= 2t^4-t

x+y=2t^2

despejamos x en la primera

x = (2t^4-t)/y

y lo llevamos a la segunda

(2t^4-t)/y + y = 2t^2

(2t^4-t) + y^2 = 2yt^2

y^2 - 2yt^2 +(2t^4-t) = 0

y = [2t^2 +- sqrt(4t^4 -8t^4 +4t)] / 2 =

[2t^2 +- sqrt(4t-4t^2)] /2 =

t^2 +- sqrt(t-t^2)

Y por tanto x será

x = (2t^4-t) / [t^2 +- sqrt(t-t^2)]

Luego la curva sería la unión de dos ramas

x(t) = (2t^4-t) / [t^2 +sqrt(t-t^2)]

y(t) = t^2 + sqrt(t-t^2)

z(t) = t

y la otra rama

x(t) = (2t^4-t) / [t^2 - sqrt(t-t^2)]
y(t) = t^2 - sqrt(t-t^2)
z(t) = t

Y eso es todo. La verdad es que para resolver estos problemas sería muy conveniente el libro de donde han salido. Puede ser que allí expliquen parametrizaciones con funciones trigonométricas que den un resultado más vistoso.

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