Límte para valeroasm

Todo parece indicar que es un oo^0 que es una indeterminación.

La base está claro que es +oo

El exponente es

x-sqrt(x^2-8) =

multiplicamos y dividimos por el conjugado

[x-sqrt(x^2-8)]·[x+sqrt(x^2-8)] / [x+sqrt(x^2-8)] =

(x^2-x^2+8) / [x+sqrt(x^2-8)] =

8 / [x+sqrt(x^2-8)]

tomando límites es un 8/oo = 0

Luego es un infinito a la cero que es una indeterminación.

Para resolverla usaremos límites logarítmicos. Llamemos L a este límite y tomaremos logaritmos

L = lím x--> + infinito [{x+ sqrt(x^2-8)}]^[{x- sqrt(x^2-8)}]

log L = log{lím x--> + infinito [{x+ sqrt(x^2-8)}]^[{x- sqrt(x^2-8)}]}

El logaritmo del límite es lo mismo que el límite del logaritmo por teoría.

log L = lím x--> + infinito log[{x+ sqrt(x^2-8)}]^[{x- sqrt(x^2-8)}]

Y aplicamos la propiedad de los logaritmos log(a^b) = b·log(a)

log L = lim x-->+oo de [x- sqrt(x^2-8)] log[x+ sqrt(x^2-8)]

Y para calcular ese límite hay que aplicar la regla de l'Hôpital, pero tenemos que poner el primer factor como si fuera un denominador, eso se consigue poniéndolo como denominador de la forma 1/factor

log L = lim x-->+oo de log[x+ sqrt(x^2-8)] / {1/[x- sqrt(x^2-8)]}

Y ahora derivamos numerador y denominador por separado

D {log[x+ sqrt(x^2-8)]} = {1/[x+ sqrt(x^2-8)]} · [1+x/sqrt(x^2-8)]

D{1/[x- sqrt(x^2-8)]} = {-1/[x- sqrt(x^2-8)]^2} · [1-x/sqrt(x^2-8)]

Llamemos r a sqrt(x^2-8) para trabajar más cómodos. El cociente de las derivadas será:

-{[1/(x+r)]/(1+x/r)} / [1/(x-r)^2]·(1-x/r)} =

- [1/(x+r)](1-x/r) / {[1/(x-r)^2](1+x/r)} =

- [1/(x+r)][(r-x)/r] / {[1/(x-r)^2][(r+x)/r]} =

Se simplifican los r que están solos

- [(r-x)/(r+x)] / [(r+x)/(x-r)^2] =

- [(r-x)(x-r)^2] / [(r+x)(r+x)] =

- (r-x)^3/(r+x)^2

r-x tiende a cero

r+x tiende a + infinito

luego eso es

0/infinito = 0

Luego

log L = 0

L = 1

El límite es 1.

¿No es muy difícil este límite? Yo creo que sí, a no ser que hubiera otra forma de resolverlo.

Y eso es todo.

Dios santo t.t

Nunca pensé que una cosa, tan fácil al principio se podría complicar tanto, hasta el punto de no enterarme de nada ahora mismo..

Valeroasm no existe otro método? es que yo no he dado ni derivadas, ni eso de los límites logaritmos t.t

Muchas gracias! :)

Pues por eso mientras lo iba haciendo pensaba que este límite no se correspondía con tus estudios.

Si el límite esta bien escrito es un infinito a la cero que es ina indeterminación y de las más difíciles de solucionar, ya ves los métodos avanzados que hay que usar. Yo no sé otra forma, creo que se hace así salvo que el profe os haya dado alguna lección especial o el libro diga algo sobre este caso.

Si llegaras a saber otra forma ya me la dirías, estoy interesado.