Taller de limites y derivadas parciales.
hola valeroasm! Estoy en una coyuntura horrible en calculo vectorial, necesito resolver la mayoría de estos ejercicios que están en este taller que te voy a mostrar a continuación, necesito que por favor me ayudes a resolver la cualquiera que tu elijas pero empezando en el orden en que están establecidos en el taller, obviamente no son para mañana, digamos que tengo tiempo para resolverlos pero ojala tu me pudieras ayudar con varios porque esas temáticas se me dificultan muchísimo. Ayudame, se que puede sonar algo atrevido e irresponsable de mi parte pero es que no se a quien mas acudir para salir de este apuro.espero tu respuesta. Muchas gracias por tu atención.
1 Respuesta
Cuando hablas de derivadas parciales ya supongo que los problemas que estás estudiando son algo complicados. Yo estoy al límite de mis fuerzas, llevo unos días con unas preguntas de Excel y estadística que me están superando por todos los sitios y no logro avanzar. Manda los que quieras pero ya sabes que cada ejercicio debe ir en una pregunta y mándalos de forma que no tengas más de 5 pendientes de contestar. Si puedes mandar más ya te lo diré conforme vea cómo son de difíciles. Pero de momento no mandes más de esos 5 porque todos los usuarios tienen que poder mandarme preguntas. Y conforme vaya contestando alguno puedes mandar otro u otros.
valeroasm este es el taller.
https://docs.google.com/file/d/0B1YOC4LYCZqSRlI5QkNNeHBWZE0/edit?pli=1
trata de resolverme el 5,7 12 y el 17. por ahora muchas gracias.
Muchos límites de dos variables se pueden resolver mediante el paso a coordenadas polares. Si el límite en ellas existe y no depende del ángulo, ese es el límite de la función.
Si llamamos r al módulo de las coordenadas polares y t al ángulo el cambio que debemos hacer es
x = r·cost
y = r·sent
Y tomar el límite cuando r tiende a 0.
Bueno, si vamos a utilzar el editor de ecuaciones será mejor usar la letras griegas ro y theta que son las que se usan normalmente envez de r y t que es para escritos a máquina.
$$\begin{align}&\lim_{\rho\to 0}\frac{(\rho \cos\theta)^2(\rho sen\theta)^2}{|(\rho \cos \theta)^3|+|(\rho sen\theta)^3|}=\\ &\\ &\\ &\lim_{\rho\to 0}\frac{\rho^4cos^2\theta sen^2\theta}{\rho^3(|\cos^3\theta|+|sen^3\theta|)}=\\ &\\ &\lim_{\rho \to 0}\quad\rho\left(\frac{\cos^2\theta sen^2\theta}{|\cos^3\theta|+|sen^3\theta|} \right)=0\end{align}$$Y eso es asi porque la expresión entre paréntesis esta acotada, el numerador toma valores entre 0 y una cantidad menor que 1 y el denominador entre una cantidad positiva distinta de cero y algo menor que 2. Esa cantidad inhferior no es cero porque el seno y coseno no pueden valer simultaneamente 0. Y estando acotado el parentesis el producto por rho tiende a cero.
Luego el límite de la función es cero.
Y eso es todo. Si quieres que haga los otros manda una pregunta por cada límite.
valeroasm es que ese tema de coordenadas polares no lo hemos visto para resolver limites, usamos el método del epsilon delta para comprobar la existencia del limite y también el método de los caminos. es decir, coger una función que tenga el punto de acumulación y mirar si el limite por diferentes caminos es el mismo o si es diferente.¿ podrías explicarme por este metodo?
¡Uff! Pues es que lo de las coordenadas polares es fundamental en estos límites. Los límites radiales iguales no garantizan la existencia del límite mientras que con loas coordenadas polares se garantiza que el límite es ese. Bueno, al menos ya sabemos que el límite es 0 y ahora habrá que pelear con delta y epsilon.
Hay que tantear el módulo de la función menos el límite e ir creando una cadena de iguales, menores o menores o iguales hasta llegar a una función de sqrt{x^2+y^2}. En este caso no se va a poder generar esa cadena de una sola vez par todos los puntos (x, y) de la bola de radio delta, habrá que separar esos puntos en tres conjuntos posibles.
$$\begin{align}&\left| \frac{x^2y^2}{|x^3|+|y^3|}-0 \right|=\frac{x^2y^2}{|x^3|+|y^3|}\\ &\\ &\\ &\\ &Si\;x=y\\ &=\frac{x^4}{2x^2|x|}=\frac{|x|}{2}\le \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{2}\lt \frac{\delta}{2}\\ &\\ &\\ &\\ &Si \;|x| \lt |y|\\ &\le \frac{x^2y^2}{|x^3|}=\frac{x^2y^2}{x^2|x|}=\frac{y^2}{|x|}\lt \frac{y^2}{|y|}=|y|\le \sqrt{x^2+y^2}\lt \delta\\ &\\ &\\ &\\ &Si \;|y|\lt |x|\\ &\le \frac{x^2y^2}{|y^3|}=\frac{x^2y^2}{y^2|y|}=\frac{x^2}{|y|}\lt \frac{x^2}{|x|}=|x|\le \sqrt{x^2+y^2}\lt \delta\\ &\\ &\\ &\text{Para que se cumpla en los tres casos tomemos }\delta = \epsilon\\ &\\ &Así\; \forall (x,y)\;tal \;que\;0\lt\sqrt{x^2+y^2}\lt \delta \implies\\ &\\ &\left|\frac{x^2y^2}{|x^3|+|y^3|}-0\right|\le max\left(\frac{\epsilon}{2},\epsilon\right)\le \epsilon\;\; \end{align}$$Y eso es todo.
