Integrales fracciones parciales no entiendo

Consiste en descomponer la integral en suma de otras que se pueden integrar. Hay unas reglas para hacerlo que dependen de como sean las raíces del denominador: reales o complejas, simples o repetidas.

Las raíces del denominador

2x^3+4x = 0

(2x^2+4)x=0

El primer factor es (2x^2+4) que no tiene raíces reales y el segundo es x cuya raíz es 0.

Para el factor primero la fracción será

(ax+b) / (2x^2+4)

y par el factor x será

c/x

la descomposición es

$$\begin{align}&\frac{x^2-3}{2x^3+4x}= \frac{ax+b}{2x^2+4}+\frac cx=\\ &\\ &\\ &\frac{ax^2+bx +2cx^2+4c}{(2x^2+4)x}\\ &\\ &\text{los denominadores son lo mismo, luego}\\ &\text{los numeradores también deben serlo}\\ &\\ &x^2-3 = (a+2c)x^2+bx+4c\\ &\\ &\text {de lo cual se deduce}\\ &\\ &b=0\\ &-3=4c \implies c =-\frac 34\\ &\\ &a+2c=1 \implies a=1+\frac 64 =\frac 52\\ &\\ &\int \frac{x^2-3}{2x^3+4x}dx=\int \frac{\frac 52xdx}{2x^2+4}-\frac 34\int \frac{dx}{x}=\\ &\\ &\frac 54\int \frac{xdx}{x^2+2}-\frac 34ln|x|=\\ &\\ &\\ &\frac 58ln|x^2+2|-\frac 34ln|x|+C\end{align}$$

Y eso es todo.