Problema de fracciones

problema de matemáticas, tema fracciones: Luis reparte entre sus amigos los discos de música que tenía. A uno le regaló un disco y 1/7 de los restantes, a otro dos discos y 1/7 de todos los restantes, a un tercero, tres discos y 1/7 de los restantes y así sucesivamente, hasta que repartió todos sus discos. ¿cuántos discos tenía y entre cuántos amigos se repartieron?

te agradecería mucho tu respuesta, tengo examen el martes y no hay manera de hacerlo....

tengo otro también, de divisibilidad: halla un número que contenga solo como factores primos el 2 y el 3, y tal que el numero de sus divisores sea la tercera parte del total de divisores que tiene el cuadrado de dicho numero.

muchas grácias!

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Respuesta
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Este problema no es fácil.

Habrá un amigo con el que termine el reparto. A este último solo le dio la parte primera, el número entero de discos, porque si le hubiera dado la séptima parte de los restantes todavía quedarían discos y no sería el último.

Las séptimas partes de los que quedan irán disminuyendo, pero mientras no de más de 7 discos a uno no podrán disminuir en más de una unidad.

Es decir, suponiendo que dé 7 o menos discos a cada uno, las primeras partes forman una sucesión creciente

1,2,3,..,n

Y las segundas una sucesión decreciente

n-1, n-2,...,0

Y el número de discos es 1+ 7 veces los que da al primero como séptima parte de los que quedan, es decir:

1+7(n-1)

Por otra parte, la suma de esas dos sucesiones es

(1+n)n/2 + (n-1)n/2 = (2n)n/2= n^2

Luego

1+7(n-1) = n^2

1+7n - 7 = n^2

n^2 - 7n + 6 = 0

Resolvemos la ecuación de grado 2

n=[7+-sqrt(49-24)]/2

n= [7+-sqrt(25)]/2

n =(7+-5)/2

n = 1 o 6

La respuesta 1 es obvia, sería 1 libro y un amigo

La respuesta 6 implica 6 amigos y 36 libros.

Esta segunda hay que comprobarla

Al primer amigo 1+ 35/7 = 1+5= 6

Al segundo, quedan 30, le da 2 y 28/7 = 2+4 = 6

Al tercero, quedan 24, le da 3 y 21/7 = 3+3 = 6

Se puede seguir comprobando que el reparto está bien y tocan 6 a cada uno.

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Hay otro enfoque

Sean x el número de libros

Como da 1 tiene que ser x-1 un múltiplo de 7

Cuando reparte al segundo amigo ha dad, antes de la segunda parte ha dado

1+(x-1)/7+2

Luego quedan

x-[1+(x-1)/7+2] = x-(7+x-1+14)/7 = x-(x+20)/7 = (7x-x-20)/7 = (6x+20)/7

Y esa cantidad debe ser múltiplo de 7 luego

(6x-20)/7 = 7k

6x-20 = 49k

x = (49k+20)/6

Como x es un número entero también debe serlo el segundo miembro, podemos ponerlo asi

x= (48k + k +18 +2)/6 = 6k - 3 + (k+2)/6

Para que sea entero debe ser k+2 múltiplo de 6.

El número k mas pequeño que cumple eso es k=4

Y con k= 4 tenemos

x=(49·4+20)/6 = 216/6 = 36

Y con eso tenemos un número con el que debemos probar a ver si se cumple. Ya vimos en el apartado anterior que si, luego la respuesta es 36 libros y 6 amigos.

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El otro ejercicio mándalo si quieres en otra pregunta. No se admiten varios ejercicios por pregunta y menos si son complicados.

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