Teorema de Cantor

Por ser A un subconjunto acotado superiormente existe un número K tal que

a <= K para todo a € A

Si multiplicamos por -1 la desigualdad cambia el sentido de esta y queda

-a >= - K para todo a € A

Luego -K es una cota inferior para el conjunto de los opuestos de los elementos de A que es el conjunto definido arriba como

-A = {-a: a € A}

luego -K es cota inferior de -A

Dado de sup A es una cota superior de A se cumple lo que acabamos de demostrar y por lo tanto -sup A es una cota inferior de -A. Para que -sup A sea el inf(-A) falta por demostrar que es la mayor cota inferior que existe para -A.

Supongamos que existe una cota inferior de -A que sea mayor que -sup A. Se cumplen estas dos cosas

1) K> -sup A ==> -K < sup A

2) K <= -a para todo a € A ==>

multiplicando por -1

a <= -K para todo a € A ==>

añadiendo el resultado de 1)

a <= -K < sup A para todo a € A

Pero esto es absurdo ya que entonces -K es una cota superior de A y es menor que sup A, eso contradice la definición de supremo que es la menor cota superior.

Luego la suposición de que existe una cota inferior mayor que -sup A es falsa, y por lo tanto

-Sup A es la mayor cota inferior de -A y por lo tanto

sup(-A) = -sup A

Y eso es todo.