La derivada de la función

No va a quedar otro remedio que usar el cambio trigonométrico fuerte.

$$\begin{align}&tg \frac x2=t\\ &\\ &\\ &senx=\frac{2t}{1+t^2}\\ &\\ &\\ &cosx=\frac{1-t^2}{1+ t^2}\\ &\\ &\\ &x= 2\,arctg\,t\\ &\\ &\\ &dx=\frac{2dt}{1+t^2}\end{align}$$

Todo lo escrito forma parte de la teoría sobre este cambio. Vamos a aplicarlo a la integral que nos dan.

$$\begin{align}&\int cscx=\int \frac{dx}{senx}=\\ &\\ &\int \frac{1}{\frac{2t}{1+t^2}}\frac{2dt}{1+t^2}=\\ &\\ &\int \frac{dt}{t} = ln|t|+C=\\ &\\ &ln\left|tg \frac x2\right|+C\end{align}$$

Este cambio no me gusta a mi porque deja la integral en función de tg(x/2) y al derivar no da lo que tenías al principio. Vamos, si que lo da pero no se puede distinguir. Vamos a ponerlo en función del angulo x.

$$\begin{align}&tg \frac x2=\pm \sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx}}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &ln\left|tg \frac x2  \right|+C=\\ &\\ &\\ &ln \sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx}}+C=\\ &\\ &\\ &\frac 12 ln \left|\frac{1-cosx}{1+cosx}  \right|+C=\\ &\\ &\\ &\frac{ln|1-cosx|-ln|1+cosx|}{2}+C\end{align}$$

Y eso es todo.