Operaciones con espacios vectoriales 1
Sea U cualquier espacio, con cualquier norma || || Demuestra que para todo u,v que pertenece a U , se satisface la desigualdad:
||1/2 (u+v)||² <=(1/2) ||u||² + (1/2) ||v||²
1 respuesta
Toda norma cumple
||u|| >=0
||ku|| = |k|·||u||
||u+v|| <= ||u|| + ||v||
con esto tenemos
||(1/2)(u+v)||^2 = ((1/2)||u+v||)^2 = (1/4)||u+v||^2 <= (1/4)(||u||+||v||)^2 =
(1/4)||u||^2 + (1/4)||v||^2 + (1/2) ||u||·||v||
para obtener el lado derecho del enunciado hay que sumar esto a lo que tenemos
(1/4)||u||^2 + (1/4)||v||^2 - (1/2)||u||·||v||
Y para que podamos seguir con la cadena de desigualdades <= que nos lleve a la demostración eso que sumamos debe ser >= 0. Multiplicamos ya por 4 para facilitar las cuentas
||u||^2 +||v||^2 - 2||u||·||v|| = (||u||-||v||)^2 >=0
Luego es mayor que cero, y puede sumarse manteniendo la desigualdad <= con lo cual en resumen quedará
||(1/2)(u+v)||^2 <=(1/2) ||u||^2 + (1/2) ||v||^2
Y eso es todo.
