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Si este problema quieres hacerlo usando integrales simples te puedes morir, si lo haces usando integrales de la funciones hiperbólicas inversas aun se puede hacer, pero como hay que hacerlo es usando un poco de teoría, el teorema fundamental del cálculo, regla de Barrow, etc.
Sea f(t) la primitiva de 1/sqrt(4t+t^2) entonces
$$\begin{align}&I(x) =\int_2^{4x}\frac{dt}{\sqrt{4t+t^2}}=f(4x)-f(2)\\ &\\ &\\ &\\ &I´(x) = 4f´(4x)=\frac{4}{\sqrt{4(4x)+(4x)^2}}= \frac{1}{\sqrt{x+x^2}}\\ &\\ &\\ &I´(1/2) = \frac{1}{\sqrt{\frac 12+\frac 14}}=\frac{2}{\sqrt 3}=\frac{2 \sqrt 3}{3}\end{align}$$Espera, que no sé si he entendido bien el problema. Se trata de hace los puntos a, b y c para la función 4 o solo hay que hacer el punto c.
Lo que he hecho está muy bien para obtener la derivada, pero no sirve para calcular el valor de la función en x=1/2, para eso hay que hacer la integral irremediablemente. Imagino que habéis dado las funciones hipérbolicas y sus inversas, porque si no es una integral por cambio de variable de esas que cuestan mucho.
Son los 3 puntos, a ,b y c para el problema 4
Y se usa el Teorema fundamental del calculo y puedes usar Barrow pero NO hiperbólicas ya que no hemos llegado a ese tema aún.
Espero tu ayuda
A veces me sorprende el temario que lleváis, hace dos días estábamos con Teoría de Números que para nosotros era de cuarto curso y optativa y ahora me dices que no has dado aun las funciones hiperbólicas que eran de Análisis Matemático I.
Aunque tampoco es tan sorprendente, la Teoría de Números podría haberse dado en primero anticipando cosas de Álgebra III como el teorema chino de los restos. Lo dejo que me estoy liando.
Bueno, me he dado cuanta que no es necesario resolver la integral, menos mal.
a) Para el valor x=1/2 el valor de f es
$$\begin{align}&f(x) =\int_2^{4x}\frac{dt}{\sqrt{4t+t^2}}\\ &\\ &f\left(\frac 12 \right)=\int_2^{4 \left(\frac 12\right)}\frac{dt}{\sqrt{4t+t^2}}=\int_2^{2}\frac{dt}{\sqrt{4t+t^2}}\end{align}$$Y la integral entre un punto y ese mismo punto es 0.
f(1/2) = 0
b) La función inversa se caracteriza por tener los puntos de la original con las coordenadas intercambiadas
Entonces si f(1/2) = 0 se cumple
f^-1(0) = 1/2
c) Sirve lo que ya hice en la parte anterior lo que pasa es que emplee mal las letras.
Sea g(t) la primitiva de 1/sqrt(4t+t^2) entonces
$$&f(x) =\int_2^{4x}\frac{dt}{\sqrt{4t+t^2}}=g(4x)-g(2)\\ &\\ &\\ &\\ &f´(x) = 4g´(4x)=\frac{4}{\sqrt{4(4x)+(4x)^2}}= \frac{1}{\sqrt{x+x^2}}\\ &\\ &\\ &f´(1/2) = \frac{1}{\sqrt{\frac 12+\frac 14}}=\frac{2}{\sqrt 3}=\frac{2 \sqrt 3}{3}$$La fórmula de la tangente en (xo,yo) es
y= yo + f '(xo)(x-xo)
Lo que me asustó antes era que había que calcular f(1/2) y pensaba que había que hacer la integral. Pero tal como hemos visto en el apartado a no es necesario ya que vale 0 por ser la integral de una función entre el mismo limite izquierdo y derecho. Por tanto
yo = f(1/2) = 0
Y la recta tangente es
$$y =\frac{2 \sqrt 3}{3}\left(x-\frac 12\right)$$Y eso es todo.
