Grupos abelianos finitamente generados

El número de Betti es el número de factores Z. En nuestro caso es 3.

Los coeficientes de torsión son los números m sub i (que los denotaré juntos cuando pueda: mi) del grupo

Zm1 x Zm2 x ····x Zms

El cual es isomorfo al subgrupo de torsión T y donde m sub i divide a m sub (i+1)

Usaremos que el producto directo de dos grupos Zn x Zm es isomorfo a Znm si mcd(b, m) = 1

En nuestro ejercicio

T = Z6 x Z12 x Z10

Descomponemos cada orden como producto de factores primos, pero con los exponentes ya operados, es decir, no pondremos 2^3 sino 8, no ponemos 3^2 sino 9. Con ello se obtienen isomorfismos a grupos formados por productos directos

Z6 es isomorfo a Z2 x Z3

Z12 es isomorfo a Z4 x Z3

Z 10 es isomorfo a Z2 x Z5

T es isomorfo a Z2 x Z3 x Z4 x Z3 x Z2 x Z5

Como ayuda ordenamos estos números por filas, cada fla para cada primo, puestos en orden creciente y alineados por la derecha. Deben aparecer todos.

2 2 4
  3 3
    5

Y finalmente tomamos las columnas y en cada una se hace el producto. Esos son los coeficientes de torsión.

En la columna 1 tenemos 2, luego m1=2

En la columna 2 tenemos 2·3 luego m2=6

En la columna 3 tenemos 4·3·5 luego m3=60

La explicación teórica es porque reordenaríamos los grupos

T isomorfo a Z2 x Z2 x Z3 x Z4 x Z3 x Z5

Y los que están juntos con mcd = 1 son isomorfos al grupo cíclico de orden el producto de los órdenes

T isomorfo a Z2 x (Z2 x Z3) x (Z4 x Z3 x Z5) isomorfo a Z2 x Z6 x Z60.

Bueno, hay mucha teoría, recuerdo los resultados:

Número de Betty = 3

Coeficientes de torsión = 2, 6 y 60

Y eso es todo.