Las derivadas de las función es

Esta figura merece unas consideraciones especiales por ello haré la gráfica.

La curva azul oscuro y la roja son las que determinan la figura que gira. Ambas funciones son impares, luego simétricas respecto del origen y generan el mismo volumen, luego calcularemos la integral entre 0 y 2 y la multiplicaremos por 2. La curva azul atraviesa el eje X. Hay que tener cuidado cuando pasa eso. Si lo que hay por debajo del eje X lo tenemos simétrico por arriba dentro de la figura, no se genera ningún volumen nuevo que no se genere con lo de arriba y hay que quitarlo. Si por abajo hubiese algo que no hay por arriba habría que añadir pero solo lo que sea nuevo. Con ello hay parte que pasa a tener como función inferior la función y=0 y otra parta que tiene x^3-x y hacen falta dos integrales. Con todo esto, el volumen es

$$\begin{align}&V=2\pi \int_0^1\left[(3x)^2-0^2 \right]dx+\\ &2\pi\int_1^2\left[(3x)^2-(x^3-x)^2  \right]dx=\\ &\\ &2\pi\int_0^1 9x^2dx+2\pi\int_1^2(9x^2-x^6+2x^4-x^2)dx=\\ &\\ &2\pi\left[3x^3\right]_0^1+2\pi\left[\frac{8x^3}{3}-\frac{x^7}{7}+\frac{2x^5}{5}  \right]_1^2=\\ &\\ &2\pi\left(3+\frac{64}{3}-\frac{128}{7}+\frac{64}{5}-\frac 83+\frac 17-\frac 25  \right)=\\ &\\ &2\pi\left(\frac{315+2240-1920+1344-280+15-42}{105}  \right)=\\ &\\ &2\pi\left(\frac{1672}{105}  \right)= \frac{3344}{105}\pi\end{align}$$

Y eso es todo.