Espacios vectoriales y subespacios

Encuentra una base para el subespacio de P_3(Polinomio de
grado menor o igual que tres), generado por los Polinomios
p(x)=1-x
q(x)=-x+x^2
r(x)=1+x+x^2+x^3
s(x)=2-3x+x^2

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5.857.250 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

Lo que hace falta es encontrar los vectores de ese sistema que son independientes.

Los polinomios de grado menor o igual a tres son un espacio de dimensión 4 con base canónica {1, x, x^2, x^3}. Pongamos las coordenadas de los vectores respecto de esta base

1 -1 0 0

0 -1 1 0

1 1 1 1

2 -3 1 0

Y ahora hacemos las operaciones de siempre para obtener vectores equivalentes con más ceros, restaremos la primera a tercera y primera por 2 a la cuarta.

1 -1 0 0

0 -1 1 0

0 2 1 1

0 -1 1 0

La cuarta se hará todo 0 al restarle la segunda. Y la segunda por 2 la sumamos a la tercera

1 -1 0 0

0 -1 1 0

0 0 3 1

0 0 0 0

Ya no pueden hacerse más filas con todo ceros, luego salvo maquillajes que queramos hacer los vectores de las tres primeras filas son una base del subespacio generado

B = (1-x , -x+x^2, 3x^2+x^3}

y con lo de maquillajes quería decir cambiar los signos del segundo por ejemplo

B = (1-x , x-x^2, 3x^2+x^3}

Y eso es todo.

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