Espacios vectoriales y subespacios
Encuentra una base para el subespacio de P_3(Polinomio de
grado menor o igual que tres), generado por los Polinomios
p(x)=1-x
q(x)=-x+x^2
r(x)=1+x+x^2+x^3
s(x)=2-3x+x^2
1 Respuesta
Lo que hace falta es encontrar los vectores de ese sistema que son independientes.
Los polinomios de grado menor o igual a tres son un espacio de dimensión 4 con base canónica {1, x, x^2, x^3}. Pongamos las coordenadas de los vectores respecto de esta base
1 -1 0 0
0 -1 1 0
1 1 1 1
2 -3 1 0
Y ahora hacemos las operaciones de siempre para obtener vectores equivalentes con más ceros, restaremos la primera a tercera y primera por 2 a la cuarta.
1 -1 0 0
0 -1 1 0
0 2 1 1
0 -1 1 0
La cuarta se hará todo 0 al restarle la segunda. Y la segunda por 2 la sumamos a la tercera
1 -1 0 0
0 -1 1 0
0 0 3 1
0 0 0 0
Ya no pueden hacerse más filas con todo ceros, luego salvo maquillajes que queramos hacer los vectores de las tres primeras filas son una base del subespacio generado
B = (1-x , -x+x^2, 3x^2+x^3}
y con lo de maquillajes quería decir cambiar los signos del segundo por ejemplo
B = (1-x , x-x^2, 3x^2+x^3}
Y eso es todo.
