¿Para qué números naturales se cumple que n^2 es menor que 2^n

Iremos comprobando

n=1 ; n^2=1 ; 2^n=2

n=2 ; n^2=4 ; 2^n=4

n=3 ; n^2=9 ; 2^n=8

n=4 ; n^2=16 ; 2^n=16

n=5 ; n^2=25 ; 2^n=32

Y a partir de aquí ya será siempre menor, luego supondremos la hipótesis que la respuesta es {1, 5, 6, 7, ...}

El 1 se comprueba y la inducción comienza con el 5

Para n=5 se cumple tal como vimos arriba.

Supongamos que se cumple para n

n^2 < 2^n

(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 < 2^n + 2n +1

Dejamos en suspenso esa inducción y demostremos aparte que 2n+1 <= 2^n para n >=5

Para n=5

2·5+1 =11 <2^5 = 16

Supongamos se cumple para n>5

2n+1 < 2^n

entonces

2(n+1)+1 = 2n+3 = 2n+1 + 2 < 2^n + 2 < 2^n + 2^n = 2(2^n) = 2^(n+1)

y una vez demostrada esta volvemos a la que habíamos dejado

(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 < 2^n + 2n +1< 2^n + 2^n =2(2^n) = 2^(n+1)

Luego queda demostrada la inducción para 5,6,7,... y uniéndolo al 1 tenemos que el conjunto es

{1, 5, 6, 7, 8, ....}

Y eso es todo.