Demostraciones de sucesiones y continuidad 2
Demuestre que todo número alfa > 0 tiene una raíz positiva.
Sugerencia: argumenta porqué lo anterior equivale a demostrar que existe un número Xo tal que Xo² = alfa, define f(x) = x²
1 respuesta
Este pregunta es difícil responderla sin conocer el contexto donde se plantea. Partiendo de cero es una tarea ardua, por eso hay que saber exactamente que teoría se ha dado hasta el momento en que se pregunta para poder aplicar algún teorema o resultado previo y saber que es lo que no puede aplicarse.
Necesitaría conocer el libro o apuntes de donde viene la pregunta.
Hola mira espero te pueda servir lo siguiente para la solución de este problema:
Sugerencia: argumenta porqué lo anterior equivale a demostrar que existe un número Xo tal que Xo² = alfa, define f(x) = x²
Luego considera dos casos, i) si 0<= x <= 1, y ii) si x>1
En ambos casos usa el teorema de los valores intermedios, pero para poderlo hacer, debes mostrar que se satisfacen las hipótesis del teorema.
Tomamos la función f(x)=x^2
Sea yo el número del cual queremos encontrar la raíz cuadrada
Si 0 <= yo <= 1
f(0) = 0
f(1) = 1
y f(x) es continua en [0,1] no creo que te pidan demostrar eso.
Luego f(x) toma todos los valores entre 0 y 1, en particular tomará el valor yo.
Existe xo E [0,1] tal que f(xo) = yo luego
xo^2 = yo
Luego xo es raíz cuadrada positiva de yo
Si yo>1
La función f(x) = x^2 > x
Tomamos los puntos 1 y yo
f(1) = 1
f(yo) = yo^2 > yo
luego
1 < yo < yo^2
por ser continua f, existe un xo €[1, yo] tal que f(xo) = yo
luego xo^2 = yo
Y xo es raíz cuadrada positiva de yo.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no se hubiera podido usar el teorema de los valores intermedios habría sido bastante más difícil.
