Distribuciones de probabilidad bivariantes y multivariantes.

5.14)

a)

Hay que comprobar que la integral doble de la función de densidad es uno.

Como límites de integración tomaremos cualquier valor para Y1 entre 0 y 1. Y para Y2 un valor entre y1 y 2-y1

$$\begin{align}&\int_0^1\int_{y_1}^{2-y_1} 6y_1^2y_2 dy_2dy_1 =\\ &\\ &\\ &\int_0^1\left[ 3y_1^{2} y_2^2 \right]_{y_1}^{2-y_1}dy_1=\\ &\\ &\\ &\int_0^1 3y_1^2[(2-y_1)^2-y_1^2]dy_1 =\\ &\\ &\\ &\int_0^1 3y_1^2(4+y_1^2-4y_1-y_1^2)dy_1=\\ &\\ &\\ &\int_0^1(12y_1^2-12y_1^3)dy_1=\\ &\\ &\\ &\left[ 4y_1^3-3 y_1^4  \right ]_0^1 = 4-3=1\end{align}$$

b) Los límites para este caso son Y1 entre 0 y 1/2, Y2 entre y1 y 1-y1

$$\begin{align}&\int_0^{1/2}\int_{y_1}^{1-y_1} 6y_1^2y_2 dy_2dy_1 =\\ &\\ &\\ &\int_0^{1/2}\left[ 3y_1^{2} y_2^2 \right]_{y_1}^{1-y_1}dy_1=\\ &\\ &\\ &\int_0^{1/2} 3y_1^2[(1-y_1)^2-y_1^2]dy_1 =\\ &\\ &\\ &\int_0^{1/2} 3y_1^2(1+y_1^2-2y_1-y_1^2)dy_1=\\ &\\ &\\ &\int_0^{1/2}(3y_1^2-6y_1^3)dy_1=\\ &\\ &\\ &\left[ y_1^3-\frac 64 y_1^4  \right ]_0^{1/2} = \frac 18 -\frac {6}{64}=\frac{2}{64}=\frac {1}{32}\end{align}$$

Y eso es todo.