Integrar por sustitución trigonométrica y dibujar rectángulo asociadoDerivada de la función x
integrar por sustitución trigonométrica y dibujar rectángulo asociado
integral de x / [(x^2+4)^3/2]dx
Saludos
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
ok lo verificare
Saludos
$$\begin{align}&\int \frac{x}{(\sqrt{x^2+4})^3}dx=\\ &\\ &x=2tgt\quad\quad dx = 2sec^2t\,dt\\ &\\ &\\ &=\int \frac{2tgt·2sec^2t}{(\sqrt{4tg^2t+4})^3}=\\ &\\ &\\ &\int \frac{4tgt·sec^2t}{(\sqrt{4sec^2t})^3}=\\ &\\ &\\ &\int \frac{4tgt·sec^2t}{(2sect)^3}=\\ &\\ &\\ &\int \frac{4tgt·sec^2t}{8sec^3t}=\\ &\\ &\int \frac{tgt}{2sect}dt = \int \frac{tgt·cost}{2}=\\ &\\ &\frac 12\int sent dt = -\frac 12 cost + C=\\ &\\ &-\frac 12 \cos\left(arctg \frac x2 \right)+C\\ &\\ &\text{Calculamos aparte}\\ &\\ &tgz=\frac{\sqrt{1-\cos^2z}}{cosz}=\frac x2\\ &\\ &\frac{1-\cos^2z}{\cos^2z}=\frac {x^2}4\\ &\\ &1-\cos^2z=\frac {x^2}{4}\cos^2z\\ &\\ &1=\left(1+\frac{x^2}{4} \right)\cos^2z= \frac{4+x^2}{4}\cos^2z\\ &\\ &\cos^2z = \frac{4}{x^2+4}\\ &\\ &cosz=\frac 2{\sqrt{x^2+4}}\\ &\\ &luego\\ &\\ &arctg \frac x2=arccos \frac 2{\sqrt{x^2+4}}\\ &\\ &\text {y la integral es}\\ &\\ &-\frac 12 \cos\left(arccos \frac 2{\sqrt{x^2+4}} \right)+C =\\ &\\ &-\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}+ C\\ &\end{align}$$Y esto es todo.
