Halle el radio de convergencia, intervalo de convergencia y el valor de convergencia de la siguiente
serie. Serie de n=1 al infinito de [ (x-1)^n] / 2^(n+3)
Para saber si los extremo del intervalo eran abiertos o cerrados yo aplique el criterio de la integral entonces me gustaría que usted aplicará este criterio para yo comprobar si lo hice correctamente. En mi caso los intervalos quedaron abiertos, ambos divergían, -1 y 3. Bueno los criterios del cociente, de la raíz, de Raabe no me sirvieron.
1 respuesta
El radio de convergencia es
$$\begin{align}&R=\frac{1}{\lim_{n \to\infty}\left |\frac{a_{n+1}}{a_n} \right|} = \frac{1}{\lim_{n\to\infty}\left|\frac{2^{n+2}}{2^{n+3}} \right|}=2\\ &\\ &\end{align}$$Luego el intervalo de convergencia está entre -1 y 3, veamos que sucede en los extremos.
En x=-1 la serie es
(-2)^n / 2^(n+3) = (-1)^n · 2^n / 2^(n+3) = (-1)^n / 2^3 = (-1)^n / 8
Esto toma valores -1/8 y 1/8 luego la suma será -1/8, 0, -1/8, 0, -1/8 no converge a un valor concreto luego diverga
En x= 3 la serie es
2^n / 2^(n+3) = 1/2^3 = 1/8
Con lo cual la suma es n/8 que tiende a infinito y diverge.
Luego el intervalo de convergencia es (-1, 3)
Y eso es todo.
