Ayuda con parábola ¡

La directriz es perpendicular al eje.

Si el eje tiene ecuación

2x - y - 4 = 0

Su vector director es (2,4) y el perpendicular es (4,-2)

Luego la ecuación vectorial de la directriz es

d: (-sqrt(5) , 11 - 2*sqrt(5) ) + t(4 , -2)

Y hemos hecho una de las cosas que pedían.

El lado recto es paralelo a la directriz, perpendicular al eje y pasa por el foco.

Su distancia al eje nos dirá lo que mide la mitad de el lado recto.

distancia = |12 - 6sqrt(5) - 8 - 4sqrt(5) - 4| / sqrt(2^2+1^2) =

|-10sqrt(5)|/sqrt(5) = 10

El foco se obtiene sumando al punto Po el vector de longitud 10 y dirección (4,-2)

Bueno, yo sé eso porque he hecho el dibujo, aunque podría ser el vector (-4, 2)

Si no hubiera dibujo se probaría con los dos y el que diera un punto del eje sería el bueno.

Dicho vector es

[10/sqrt(20)](4, -2) = [5/sqrt(5)](4 , -2) = sqrt(5)(4 , -2)

Sumado al punto Po nos da

Foco = ( 6 - 3*sqrt(5) , 8 + 4*sqrt(5) ) + (4sqrt(5) , -2sqrt(5)) =

(6+sqrt(5) , 8+2sqrt(5))

El vértice esta en el centro entre la directriz y el foco. La distancia del foco a la directriz es la misma que la del punto extremo del lado recto al foco, luego es 10, luego la distancia del foco al vértice es 5. Al foco aplicaremos el vector de longitud 5 paralelo al eje, por el dibujo se ve que el sentido es el dado por (-2,-4)

vértice = (6+sqrt(5) , 8+2sqrt(5)) + [sqrt(5)/2](-2, -4) =

(6 +sqrt(5) - sqrt(5), 8+2sqrt(5) -2sqrt(5) = (6,8)

Ese es el centro de la circunferencia y el radio es la distancia al punto Po, que se puede calcular fácilmente y da

sqrt(9·5 +16·5) = sqrt (125) = 5sqrt(5)

Luego la ecuación de la circunferencia es

C: (x-6)^2 +(y-8)^2 = 125

Y eso es todo.