La drivada de la función x
integrar por descomposición de fracciones parciales
integral de [(x^2) / (x+1)^3]dx
Saludos
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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El grado del numerador es menor que el del denominador. Y el denominador tiene una raíz triple.
La descomposición será así:
$$\begin{align}&\frac{x^2}{(x+1)^3}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{(x+1)^2}+\frac{c}{(x+1)^3}=\\ &\\ &\\ &\frac{a(x+1)^2+b(x+1)+c}{(x+1)^3}\\ &\\ &Luego\\ &\\ &x^2=a(x+1)^2+b(x+1)+c\\ &\\ &\text{Para x=-1} \implies c=1\\ &\text{Para x=0}\implies 0 =a+b+1\implies a+b=-1\\ &\text{Para x=-2}\implies 4=a-b+1\implies a-b=3\\ &\\ &2a=2\\ &a=1\\ &b=-2\\ &\\ &\int \frac{x^2}{(x+1)^3}dx=\\ &\\ &\\ &\int \frac{dx}{x+1}+\int \frac{-2dx}{(x+1)^2}+\int \frac{dx}{(x+1)^3}=\\ &\\ &ln|x+1| +\frac{2}{x+1}- \frac{1}{2(x+1)^2}+C =\\ &\\ &ln|x+1|+\frac{4x+4-1}{2(x+1)^2}+C=\\ &\\ &ln|x+1|+\frac{4x+3}{2(x+1)^2}+C\\ &\end{align}$$Y eso es todo.
