Anónimo
Problema con rectas coplanares
Tengo un ejercicio que no se como plantearlo.
El enunciado dice:
Determinar el valor de a para que las rectas r y s sean coplanares. Hallar la ecuación del plano que las contiene.
r: x= ?
y= ? + a
z= 0
s: x - 1 =(y -1) / (-1) = z + 1
2 Respuestas
Veo la fecha que el problema fue planteado hace tiempo, pero lo acabo de ver, puesto que soy relativamente nueva en este sitio. No obstante, puedo dar otra solución.
Las rectas dadas no son paralelas, ni coinciden, puesto que sus vectores directores son diferentes. Substituímos los valores de la primera recta x = t, y = t + a, z= 0 en la segunda y tenemos t - 1 = (t + a - 1)/(-1) = 0 +1. De t - 1 = 1, se tiene t = 2. Entonces, de la primera igualdad a = - 2.
La primera recta es x = t, y = t - 2, z = 0.
Como las rectas tienen un punto en común (2, 0, 0), son coplanares.
La ecuación del plano se obtiene mediante el producto mixto:
(x - 2, y, z) (1, 1, 0)× (1, - 1, 1) = 0
(x - 2) - y - 2z = 0
Una recta genera un haz de planos que la contienen. La característica de estos planos es que contienen un punto de la recta y su vector director es perpendicular al de la recta
Hallemos por lo tanto en cada recta un punto y su vector director
R pasa por (0, a, 0) y su vector es (1,1,0) supuesto que donde hay una interrogación pusiste una letra griega.
La recta "ese" pasa por (1,1,-1) valores que anulan numeradores y tiene por vector
(1,-1,1) valores de los denominadores.
Sea P1 un plano conteniendo la recta r
Su ecuación es
P1: Ax +By + Cz = D
Al pasar por (0,a,0) tenemos
Ba = D
P1: Ax+By+Cz = Ba
Al ser perpendicular a (1,1,0) se cumple que el producto escalar (1,1,0)·(A,B,C) = 0
A+B = 0 ==> A=-B
P1: -Bx+By+Cz = Ba
Sea P2 un plano conteniendo a "ese"
P2: Ex+Fy+Gz=H
Al pasar por (1,1.-1)
E+F-G = H
P2: Ex+Fy +Gz = E+F-G
Al ser perpendicular a (1,-1,1) el producto escalar con (E,F,G) es cero
E-F+G =0 ==> E = F-G
P2: (F-G)x + Fy + Gz = 2F-2G Si P1=P2 deben ser proporcionales todos los coeficientes -B/(F-G) = B/F = C/G = Ba/(2F-2G) Y de aquí podemos obtener hasta 6 ecuaciones, se supone que suficientes para despejar las 5 incónitas que hay. De -B/(F-G) = Ba/(2F-2G) -B(2F-2G) = Ba(F-G) Dividiendo por B(F-G) queda -2 = a De B/F = Ba/(2F-2G) 2F-2G = -2F 4F = 2G F = G/2 De B/F = C/G BG = CF BG = CG/2 B = C/2 Yo creo que esto sería suficiente y nos hemos pasado El valor de a es -2 El plano lo construimos a partir de P1: -Bx+By+Cz = Ba Demos este valor C=2 ==> B=1 P1: -x+y+2z = -2 Comprobémos que en verdad es el plano, para ello aparte del punto que tenemos de cada recta hallaremos otro en cada una y veremos que los cuatro están en el plano En r tenemos el punto (0,a,0) y el vector (1,1,0) Dos puntos son (0,-2, 0) y (0,-2,0)+(1,1,0) = (1,-1,0) -2 = -2 -1-1 = -2 En s tenemos el punto (1,1,-1) y si le sumamos el vector (1,-1,1) este otro punto (1,1,-1)+(1,-1,1) = (2,0,0) -1+1-2 = -2 -2 = -2
Luego ese valor a=-2 hace que las dos rectas sean coplanares en
P: -x+y+2z = -2
Muchísimas gracias por responder a mi consulta! me fue difícil seguir la explicación pero con lo que explicaste al principio de que los vectores directores de las rectas son perpendiculares a la normal del plano se me abrió la mente y pude resolverlo y me dio el mismo resultado que a vos. Gracias!