Como se resuelven estas integrales impropias

Son integrales racionales que tienen un método distinto según la naturaleza de las raíces del denominador. En este caso hay un único par de raíces complejas y la integral ya está reducida a la exprésión más sencilla que se supone "directamente integrable", es un eufemismo eso. Una integral asi reducida se compone de la suma de un logaritmo neperiano y un arcotangente. La parte correspondiente al logaritmo deberá tener todo el termino en x del numerador ( y puede que alguna constante también) mientras que la parte del arcotangente solo podrá tener una constante en el numerador. Descompongamos la integral de esa manera. El secreto está en hacer que la parte del logaritmo tenga por numerador la derivada del denominador. Para llegar a eso puede ser que sea necesario un multiplicar-dividir por una constante antes de nada. En este caso vemos que tenemos x en el numerador, pero la derivada del primer término del denominador es 2x, hay que usar ese truco de multiplicar-dividir por 2 al principio.

$$\begin{align}&\int_{-1}^{1}\frac{xdx}{x^2+x+1}= \frac 12\int_{-1}^{1}\frac{2xdx}{x^2+x+1}=\\ &\\ &\\ &\text{Ahora el truco es sumar y restar 1 en el numerador}\\ &\\ &\\ &\frac 12 \int_1^1 \left( \frac{2x+1}{x^2+x+1}- \frac{1}{x^2+x+1}\right)dx=\\ &\\ &\\ &\text{La primitiva del sumando primero es un ln}\\ &\text{En el segundo completaremos cuadrados.}\\ &\text{Si no sabes cómo me lo preguntas}\\ &\\ &\\ &\frac 12\left[ln |x²+x+1|\right]_{-1}^1-\frac 12\int_{-1}^1 \frac{dx}{\left(x+\frac 12\right)^2+\frac 34}=\\ &\\ &\text{Hay que dejar }1+[u(x)]^2 \text{ en el denominador}\\ &\text{Se usa el truco de multiplicar-dividir}\\ &\\ &\\ &\frac 12 (ln\,3-ln \,1)-\frac 12 \frac 43\int_1^1 \frac{dx}{\frac 43\left[\left(x+\frac 12\right)^2+\frac 34\right]}=\\ &\\ &\\ &\frac{ln\, 3}{2}-\frac{4}{6}\int_1^1 \frac{dx}{\left[\frac{2}{\sqrt 3}\left(x+\frac 12\right) \right] ^2+1}=\\ &\\ &\text{El numerador debe tener la derivada de u(x)}=\frac{2}{\sqrt 3}\\ &\\ &\\ &\frac{ln\, 3}{2}-\frac{4}{6}\frac{\sqrt 3}{2}\int_1^1 \frac{\frac{2}{\sqrt 3}dx}{\left[\frac{2}{\sqrt 3}\left(x+\frac 12\right) \right] ^2+1}=\\ &\\ &\\ &\frac{ln\, 3}{2}-\frac{\sqrt 3}{3}  \left[  arctg \left(\frac{2}{\sqrt 3}\left(x+\frac 12\right) \right)\right]_{-1}^1 =\\ &\\ &\\ &\frac{ln\,3}{2}-\frac{\sqrt 3}{3}\left(arctg\left(\frac{3}{\sqrt 3}\right)-arctg\left(\frac{-1}{\sqrt 3}\right) \right)=\\ &\\ &\\ &\frac{ln\,3}{2}-\frac{\sqrt 3}{3}\left(arctg \sqrt 3+ arctg\left(\frac{1}{\sqrt 3}\right) \right)=\\ &\\ &\text{Son tangentes famosas, 60º=}\pi/3 \text{ y 30º=}\pi/6\\ &\\ &\\ &ln \,3-\frac{\sqrt 3}{3} \left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)=ln\,3-\frac{\sqrt 3}{3}\frac{\pi}{2}=\\ &\\ &\\ &ln\,3 -\frac{\pi \sqrt 3}{6}\approx -0.3575935378\\ &\\ &\end{align}$$

Uff! Ya vale para la pregunta.

La otra integral mándala en una pregunta distinta. Las racionales son suficientemente complicadas como para mandar varias en una sola pregunta. Procura mandar siempre un solo ejercicio en cada pregunta.