Ayuda con Análisis ..
Sea Xn una sucesión convergente en R(reales) y definamos An=sup{Xn, Xn+1,....} y Bn= Inf{Xn, Xn+1,....}. Pruébese que An converge al mismo límite que Bn, el cual es el mismo que el límite de Xn.
1 respuesta
Creo que falta algo, o no está bien explicado o es falso
Voy a tomar la sucesión
1,3,2,2,2,2,2,.....
An convergería a 3
Bn a 1
y Xn a 2
¿Tal vez es que los puntos suspensivos estén engañando? Tal como están puestos se supone que se llega hasta el primer elemento de la sucesión.
Si el enunciado es otro mándalo.
si es así el enunciado..entonces no se puede probar?, es que el contraejemplo no me convence ..
¿En qué estaría pensando yo?
Me equivoqué, interpreté Xn-1 en lugar de Xn+1.
Dentro de un rato lo intentaré resolver, ahora tengo asuntos personales.
Si es una sucesión convergente tiene un límite finito, llamémoslo L. Entonces
Para todo e>0 existe un k€N tal que |Xn-L|<e para todo n>k
Ahora, para demostrar que las sucesiones de los supremos e ínfimos son convergentes nos darán un epsilon y nosotros tomaremos el k que cumple la condición de convergencia de Xn pero para epsilon/2
Existe un k€N tal que |Xn-L| < epsilon / 2 para todo n>k
Sea Sn=Sup{Xn, Xn+1, ...}
Debe existir un j >=n tal que Sn-Xj < epsilon / 2
Ya que si no tendríamos Sn - epsilon/2 >= Xj para todo j>=n y entonces tendríamos una cota superior menor que el supremo, lo cual sería absurdo.
Ahora haremos uso de la desigualdad triangular del valor absoluto
|Sn-L| = | Sn - Xj + (Xj -L)| <= |Sn-Xj| + |Xj - L| < epsilon/2 + epsilon/2 = epsilon
Luego
|Sn - L| < epsilon para todo n >k
Luego la sucesión de los supremos que nos dicen tiende al límite de la sucesión Xn que es L
Para la sucesión de los ínfimos la demostración es análoga. Es igual hasta el punto donde diremos
Sea In=Inf{Xn, Xn+1,...}
Debe existir un j>=n tal que Xj - In < epsilon/2
Ya que si no tendríamos In+epsilon/2 <= Xj para todo j>n y entonces tendríamos una cota inferior mayor que el ínfimo, lo cual sería absurdo.
Y usando de nuevo la desigualdad triangular
| In - L| = | In - Xj + (Xj-L)| <= | In-Xj|+|Xj -L| < epsilon/2 + epsilon/2 = epsilon
Luego
| In - L| z epsilon para todo n >k
Luego la sucesión de los ínfimos que nos dicen también tiende al límite de la sucesion Xn que es L
Ambas tienen el mismo límite que a su vez es el límite de Xn, eso era lo que pedía el ejercicio.
Y eso es todo.
