Probar que si 2n+1 es un primo...

Los cuadrados son las suma de los primeros números impares. Más concretamente

n^2 es la suma de los n primeros números impares

1 = 1

4 = 1 + 3

9 = 1 + 3 + 5

16 = 1 + 3 + 5 + 7

n^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2n-3 + 2n-1

La diferencia entre dos cuadrados i^2 y j^2 con i > j será la de los sumandos impares de más que tiene i^2

i^2 - j^2 = 2j+1 + 2j+3 + ...+ 2i-1

Son i-j los sumandos y forman una sucesión aritmética. Usaremos la fórmula de la suma de sucesiones aritméticas:

Sn = (a1 +an)n/2

Sn = (2j+1 +2i-1)(i-j) / 2 =

Dejo escrito todo lo de arriba aunque ahora me doy cuenta de que no me sirve para que veas que a veces cuesta dar con el camino.

Es más sencillo

Supongamos que 2n+1 divide a i^2-j^2 con i mayor estrictamente que j

i^2 - j^2 = (i+j)(i-j)

Luego divide a (i+j)(i-j). Pero si ún número primo divide a dos factores divide a uno de los dos factores al menos

pero 0 < i-j < i+j < 2n

Luego 2n+1 no puede dividir a ninguno de los dos factores y es absurdo, luego 2n+1 no divide a la diferencia de los cuadrados de dos números distintos entre 1 y n.

Entonces supongamos que dos de esos cuadrados tienen el mismo resto. Por el algoritmo de la división, existen r, c, k enteros que cumplen

i^2 = c(2n+1)+r ==> r = i^2-c(2n+1)

j^2 = k(2n+1)+r ==> r = j^2-k(2n+1)

Luego igualando los segundos miembros:

i^2 - c(2n+1) = j^2 - k(2n+1)

i^2 - j^2 = c(2n+1) - k(2n+1)

i^2 - j^2 = (c-k)·(2n+1)

Luego (2n+1) divide a i^2-j^2, pero esto ya estaba demostrado anrtes que no podía suceder, luego no pueden tener el mismo resto

Y eso es todo.