Suma de los n números
Como se seria Sn para los sgtes expersiones
Sn=2^2+4^2+......n^2
Sn=1^2+3^2+......n^2
Sn=2^3+4^3+.....n^3
Sn=1^3+3^3+.....n^3
Pd: hay un link acerce de estas expresiones en general.
Sn=2^2+4^2+......n^2
Sn=1^2+3^2+......n^2
Sn=2^3+4^3+.....n^3
Sn=1^3+3^3+.....n^3
Pd: hay un link acerce de estas expresiones en general.
1 Respuesta
Respuesta de eudemo
1
La suma de los n primeros cuadrados es
Sn=1^2+3^2+......n^2 =n (n-1)(n-1/2)/3
La suma de los n primeros cubos es el cuadrado de los n primeros naturales al cuadrado. Es decir
1^3+2^3+3^3+4^3+...+n^3 = (1+2+3+4+...+n)^2
Como 1+2+3+4+...+n= n (n+1)/2 se puede poner
1^3+2^3+3^3+4^3+...+n^3= n^2 (n+1)^2/4
******************************
Sn=2^2+4^2+......n^2 (n par)
Sn= 4[1^2+2^2+......(n/2)^2]
Sn=4 n/2 (n/2+1)(n+1)/6=n (n+2)(n+1)/6
Sn=1^2+3^2+......n^2 =n (n-1)(n-1/2)/3
La suma de los n primeros cubos es el cuadrado de los n primeros naturales al cuadrado. Es decir
1^3+2^3+3^3+4^3+...+n^3 = (1+2+3+4+...+n)^2
Como 1+2+3+4+...+n= n (n+1)/2 se puede poner
1^3+2^3+3^3+4^3+...+n^3= n^2 (n+1)^2/4
******************************
Sn=2^2+4^2+......n^2 (n par)
Sn= 4[1^2+2^2+......(n/2)^2]
Sn=4 n/2 (n/2+1)(n+1)/6=n (n+2)(n+1)/6
Oooops
Puse algunos signos menos en lugar de signos más. La suma de los cuadrados es:
Sn=1^2+3^2+......n^2 =n (n+1)(n+1/2)/3
*******************
Sigo
Observa como partiendo de la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales hasta n:
Sn=1^2+3^2+4^2+...+n^2 = n (n+1)(n+1/2)/3
Podemos obtener la suma de los cuadrados de los n primeros números pares hasta n (n par)
Sn=2^2+4^2+6^2+...+n^2 =
4(1^2+2^2+3^2+...+(n/2)^2
4. n/2 (n/2+1)(n/2+1/2)/3=
= n (n+2)(n+1)/6
Que ocurre si queremos hallar la suma de los cuadrados de los impares
Sn=1^2+3^2+5^2+...+n^2 (n impar)
Simplemente hallamos la suma de los cuadrados de todos los naturales hasta n y le restamos la suma de los pares hasta (n-1)
Asi es
Sn=1^2+3^2+5^2+...+n^2=
Sn= [ n (n+1)(n+1/2)/3] - [(n-1)(n+1)n/6]
***************************************
Análogamente la suma de los cubos de los naturales hasta n es
Sn=1^3+2^3+3^3+4^3+...+n^3
Sn=(1/4)n ^2(n+1)^2
Para obtener la suma de los impares restamos de la suma de los cubos, la de los cubos de los números pares hasta n-1
Puse algunos signos menos en lugar de signos más. La suma de los cuadrados es:
Sn=1^2+3^2+......n^2 =n (n+1)(n+1/2)/3
*******************
Sigo
Observa como partiendo de la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales hasta n:
Sn=1^2+3^2+4^2+...+n^2 = n (n+1)(n+1/2)/3
Podemos obtener la suma de los cuadrados de los n primeros números pares hasta n (n par)
Sn=2^2+4^2+6^2+...+n^2 =
4(1^2+2^2+3^2+...+(n/2)^2
4. n/2 (n/2+1)(n/2+1/2)/3=
= n (n+2)(n+1)/6
Que ocurre si queremos hallar la suma de los cuadrados de los impares
Sn=1^2+3^2+5^2+...+n^2 (n impar)
Simplemente hallamos la suma de los cuadrados de todos los naturales hasta n y le restamos la suma de los pares hasta (n-1)
Asi es
Sn=1^2+3^2+5^2+...+n^2=
Sn= [ n (n+1)(n+1/2)/3] - [(n-1)(n+1)n/6]
***************************************
Análogamente la suma de los cubos de los naturales hasta n es
Sn=1^3+2^3+3^3+4^3+...+n^3
Sn=(1/4)n ^2(n+1)^2
Para obtener la suma de los impares restamos de la suma de los cubos, la de los cubos de los números pares hasta n-1
