Integrar con base e

Imagino que quieres decir esto

4xe^(2x)

En el editor se escribiría

4xe^{2x}

Resolveremos integrando por partes, la fórmula es esta

$$\begin{align}&\int udv = uv - \int vdu\\ &\\ &\\ &\\ &\int 4xe^{2x}dx=\\ &\\ &u=2x\quad \quad du=2dx\\ &v=2e^{2x}dx\quad v =e^{2x}\\ &\\ &= 2xe^{2x}-\int2e^{2x}dx=\\ &\\ &\\ &2xe^{2x}-e^{2x}+C\\ &\\ &\text{Si quieres puedes poner factor común}\\ &\\ &(2x-1)e^{2x}+C\end{align}$$

Y eso es todo.