Aplicación de la derivada
Buenas noches.
te agradezco las respuestas anteriores, disculpa que no te haya puntuado de inmediato, pero ya ves como se batalla cuando se descompone la laptop para poderse conectar a gusto.
bueno, tengo un problemilla que no se ni por donde comenzar:
Un alambre de 150 cm se corta para formar un cuadrado y un triangulo equilátero.
¿Como se debe cortar el alambre para que las figuras que se formen sean de área máxima?
muchísimas gracias
besos.
1 respuesta
Interesante problema.
Sea x el lado del cuadrado y sea y el lado del triángulo equilátero
El área del cuadrado es bien sencilla, es x^2
La del triángulo es la base por la altura entre 2.
La altura se calcula así, el triangulo equilátero tiene 60º en cada ángulo, y la altura es el lado por el seno de 60. Luego el área es
y·y·sen60º / 2 = y^2·sqrt(3)/4
Luego el área total será
A = x^2 + y^2·sqrt(3)/4
Esta función es de dos variables, pero podemos hacerla de una porque
4x + 3y = 150
4x = 150-3y
x= (150-3y)/4
con lo cual el área es
A(y) = (150-3y)^2 / 16 + y^2·sqrt(3)/4
Derivaremos e igualaremos a cero para calcular los extremos relativos
A'(y) = 2(150-3y)(-3)/16 + 2y·sqrt(3)/4 =
-(3/8)(150-3y) + y·sqrt(3)/2 = 0
-225/4 + 9y/8 + y·sqrt(3)/2= 0
y[9/8 + sqrt(3)/2] = 225/4
y[9+4sqrt(3)]/8 = 225/4
y[9+4sqrt(3)] = 450
y = 450 / [9 + 4sqrt(3)] = 28.25177413 cm
x= (150-3y) / 4 = (150 - 3 · 28.25177413) /4 = 16.3111694 cm
Luego:
lado del triángulo = 28.25177413 cm
lado del cuadrado = 16.3111694 cm
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Habría un método para resolver en dos variables con los multiplicadores de Lagrange, pero no se si los habrás dado.
