Gráfica de una funcion
Trace la gráfica de una función f tal que f(-1)=0, f(0)=1, f(3)=0; tenga una asíntota
horizontal en y=0 para (x ---> + - infinito)
tenga asíntotas verticales para x=-2 y x=1; f’’(x)<0 para x<-2, f’(x)>0 para -2<x<1 y para 1<x<3.
1 respuesta
Probemos con una función sencilla.
Por el tema de las asíntotas verticales hagamos que el denominador tenga (x+2)(x-1)
Por el tema de la asíntota horizontal 0 hagamos que el límite en el infinito sea 0, o sea que el grado del numerador sea 0 o 1
Voy probando a ver como queda
Por favor, confírmame si es cierto esto:
f’’(x)<0 para x<-2, f’(x)>0 para -2<x<1 y para 1<x<3
Revísalo bien porque no me sale nada.
Estoy pensando que a lo mejor no tiene porque ser una función que se pueda expresar de forma simple, tal vez sirva crear la función a trozos.
Hola experto
asi es como se plantea este ejercicio.
Trace la gráfica de una función f tal que f(-1)=0, f(0)=1, f(3)=0; tenga una asíntota horizontal en y=0 para x--->-+infinito tenga asíntotas verticales para x=-2 y x=1; f’’(x)<0 para x<-2,
f’(x)>0 para -2<x<1 y para 1<x<3.
Gracias por la ayuda
Pues yo creo que quieren una gráfica más que una función. La haremos por trozos.
Ahi está el dibujo y la función usada en cada trozo
La azul debe tener asíntota horizontal en -oo, vertical en -2 y derivada segunda <0.
Una función del tipo a/(x+2) cumple perfectamente las condiciones de las asíntotas
f '(x) = -a/(x+2)^2
f''(x) = -a(-2(x+2)) / (x+2)^4 = 2a/(x+2)^3
para que sea negativa debe ser a <=0
Por eso tomamos
f(x) = -1/(x+2) para -oo< x < -2
La función verde esta destinada paa tener asíntotas verticales en x=-2 y x=1, por eso tiene los factores (x+2)(x-1) en el denominador. El factor (x+1) del numerador es para que valga 0 en x=-1 y el -2 era lo que se necesitaba para que valiese 1 en x=0.
También debe cumplir que la derivada primera sea mayor que 0. No voy a hacerla, pero por la gráfica se ve que es creciente, luego la derivada es mayor que cero.
La negra esta preparada para tener la asíntota vertical 1, por eso su denominador es (x-1) y luego se le ha sumado lo que le faltaba en x=3 para que valiese 0. Era muy difícil hacer de golpe una función que cumpliese también lo de la asíntota horizontal en +oo por eso la he cortado en x=3. Se ve que es creciente luego la derivada primera es positiva, pero esta vez lo comprobamos
f(x) = -1/(x-1)
f '(x) = 1/(x-1)^2
Que es positiva siempre
Y faltaba hacer la parte derecha con la condición de que tenga asíntota horizontal en y=0. Las funciones a/(x-b) servían, pero no se podían hacer pasar por (3,0) Entonces he tomado la función seno dividida por x, que cada vez tiene menor amplitud y por eso tiene al final asíntota horizontal en el eje X. Puse el 3 en sen(x-3)/x para que fuese continua en x=3, aunque ahí no es derivable porque hay un pequeño pico.
Y eso es todo.
