Polinomio característico y vectores propios

Se ve que la fila 2 es la 1 cambiada de signo y la 4 es la 1. Eso hace que el determinante sea 0 y eso hace que con t=0 el determinante sea 0 y el 0 será un valor propio. Además ya verás que será de multiplicidad 2.

|1-t   2    0    3 |
|-1  -2-t   0   -3 | =
| 0    0   2-t   0 |
| 1    2    0   3-t|

Desarrollamos el determinante por la tercera fila ya que solo tiene un elemento no nulo a33

     |1-t   2   3 |
(2-t)|-1  -2-t -3 | =
     | 1    2  3-t|

(2-t)[-(1-t)(2+t)(3-t) -6 -6 +3(2+t) +2(3-t)+6(1-t)] =

(2-t) [-(2-t-t^2)(3-t) -6 -6 + 6 + 3t +6 - 2t + 6 -6t )=

(2-t) (-6 + 3t + 3t^2 +2t -t^2 - t^3 -5t + 6) =

(2-t)(-t^3+2t^2) =

(2-t)·t^2(-t+2) =

t^2·(2-t)^2 =

t^2·(t-2)^2

El polinomio característico es t^2·(t-2)^2

Si se prefiere en forma normal es t^4 - 4t^3 + 4t^2

Luego los valores propios son 0 y 2 ambos con multiplicidad 2

Calculemos las soluciones de la ecuación matricial

(a-t·I)X=0

Para calcular los subespacios propios.

Para t=0, como ya dije, la ecuación 2 y 4 van a ser redundantes, luego solo sirven la 1 y la 3

(1 2 0 3 | 0)

(0 0 2 0 | 0)

Si llamamos x,y,z,w a las incógnitas.

De la ecuación segunda se desprende

z=0

Y de la primera si tomamos y,z como parámetros se desprende

x=-2y-3w

Es un espacio de dimensión 2 y dando valores y=-1,w=0 y luego y=0,w=-1 podemos tomar estos dos vectores propios como base del espacio propio del valor propio t=0

v1=(2,-1,0,0)

v2 =(3,0,0, -1)

Para t=2 el sistema que queda es

(-1  2  0  3 | 0)    (-1  2  0  3 | 0)
(-1 -4  0 -3 | 0)    ( 0 -6  0 -6 | 0)
( 0  0  0  0 | 0) ~  ( 0  0  0  0 | 0)
( 1  2  0  1 | 0)    ( 0  4  0  4 | 0)

Segunda y cuarta son proporcionales y sobra la 4

De la segunde se

Deduce

y

=

-w

Entonces

La primera

Es

-x

-2w+3w = 0

x = w

Y sobre z no nos dicen nada, podemos tomar el valor que queramos, entonces haremos un vector con w=1 y z= 0 y otro con x=y=w=0 y z=1. Y los vectores propios para t=2 son

(1, -1, 0, 1)

(0, 0, 1, 0)

Y eso es todo.