Construcción del conjunto de los números Enteros
Sean
A, B y C conjuntos.
Demuestre
que si:
A={x distinto de 0 | x es un múltiplo de un número primo};
B={-100, -99, - 98, …, 0, 1, 2, …, 100}
y;
C = {-x | x ? A}
Entonces
a)A? (B ? C) = Z A union (B union C)
b)Z– (A ? B)= C – B Z diferencia(A union B)=C diferencia B
c)A– (B ? C) = A – B = A – (A n B) A diferencia (B union C) = A diferencia B= A diferencia (A intersección B)
Donde
Z es el conjunto de los números enteros.
1 Respuesta
a) Au(BuC) = Z
Parece que con múltiplo quieren decir múltiplo natural.
Todo número es múltiplo natural de un número primo salvo {-1, 0, 1}
Por la propiedad conmutativa y asociativa Au(BuC) = (AuC)uB
AuC son todos los números enteros salvo {-1,0,1} ya que C contiene {-2, -3, -4, ...}
Y (AuC)uB = Z ya que B contiene los elementos {-1,0,1} que faltaban
b) Z–(AuB) = C–B
Es simple recuento.
AuB ={-100, -99, ...., 0, 1, 2, 3, .... }
Z–(AuB) = { ..., -102, -101}
C = { ...., -3, -2}
C–B = { ..., -102, -101}
Luego Z–(AuB) = C–B
c) A–(BuC) = A–B = A–(AnB)
Es puro recuento
BuC = {..., -2, -1, 0, 1, ...., 100}
A–(BuC) = {101, 102, ...}
A–B = {101, 102, ...}
AnB = {2, 3, ..., 100}
A–(AnB) = {101, 102, ...}
Luego A–(BuC) = A–B = A–(AnB)
