Variables multidimensionales y probabilidad marginal
Sea (X, Y) una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad conjunta es:
P[-3,11]=1/4
P[-2,-6]=1/12
P[2,6]=1/6
P[3,-8]=1/2
P[xi.yj]=0 en otro caso
1. Comprueba que se verifica la condición de normalización.
2. Halla las funciones de probabilidad marginales de X e Y.
3. Si se define una nueva variable (Z, W) = (X + Y, Y – X2). Halla su función de probabilidad conjunta, las marginales y la covarianza.
Muchas gracias
1 respuesta
1. Hay que comprobar que la suma de probabilidades es 1.
$$\begin{align}&P(todo) =\frac 14 + \frac 1{12}+\frac 16 +\frac 12=\\ &\\ &\\ &\frac{3+1+2+6}{12}=\frac{12}{12}=1\end{align}$$2. La probabilidad marginal para un valor de x es la suma de todas las probabilidades que tengan x como primera coordenada. Y la probabilidad marginal pra un valor de y será la suma de todas las probabilidades que tengan y como segunda coordenada.
Px(-3) = 1/4
Px(-2) = 1/12
Px(2) = 1/6
Px(3) = 1/2
Px(otro) = 0
Py(11) = 1/4
Py(-6) = 1/12
Py(6) = 1/6
Py(-8) = 1/2
Py(otro) = 0
3. ¡Madre mía!
De la probabilidad conjunta de X e Y calculemos la de Z y W
P[-3,11]=1/4
P[-2,-6]=1/12
P[2,6]=1/6
P[3,-8]=1/2
Simplemente operamos las definiciones de Z y W con los valores de X e y
Z=X+Y
W=Y-X^2
P[8, 2] = 1/4
P[-8, -10] = 1/12
P[8, 2] = 1/6
P[-5,-17] = 1/2
P[otro] = 0
Como vemos el [8,2] se da de dos formas debemos sumarlas y queda esta probabilidad de Z,w
P[8, 2] = 1/4 + 1/6 = 5/12
P[-8, -10] = 1/12
P[-5,-17] = 1/2
P[otro] = 0
Las marginales son
Pz(8) = 5/12
Pz(-8) = 1/12
Pz(-5) = 1/2
Pz(Otro) = 0
Pw(2) = 5/12
Pw(-10) = 1/12
Pw(-17) = 1/2
Pw(otro) = 0
La covarianza por definición es:
$$\begin{align}&Cov(Z,W) = E[(Z-\mu_Z)(W-\mu_W)]\\ &\\ &\text{Pero hay teoremas que la simplifican y queda en}\\ &\\ &Cov(Z,W)=E(ZW)-\mu_Z·\mu_W\end{align}$$La medias se sacan de las probabilidades marginales
$$\begin{align}&\mu_Z=8 \frac{5}{12} - 8 \frac{1}{12} - 5 \frac 12 =\\ &\\ &\\ & \frac{40-8 -30}{12} = \frac 2{12} =\frac 16\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\mu_W=2 \frac 5{12}-10 \frac 1{12}-17 \frac 12=\\ &\\ &\frac{10-10-102}{12}=-\frac{102}{12}=-\frac{17}{2}\end{align}$$Y ahora hay que calcular ZW y después su media, pongamos la probabilidad conjunta de Z y W para tenerla a la vista
P[8, 2] = 1/4 + 1/6 = 5/12
P[-8, -10] = 1/12
P[-5,-17] = 1/2
P[otro] = 0
Y ahora formamos la de ZW
P(16) = 5/12
P(80) = 1/12
P(75) = 1/2
P(otro)=0
Con lo cual la esperanza (o media) de XY es
16(5/12) +80(1/12) + 75(1/2) = (80+80+450)/12 = 610/12
Y finalmente calculamos la covarianza
Cov(Z.W) = 610/12 - (1/6)(-17/2) = 610/12 + 17/12 = 617/12
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. NO te puedo garantizar que esté bien está última parte con la cantidad de cuentas que hay, revísala si puedes.
