Complejos 1 matematica

La demostración de que tiene n raíces complejas no es nada sencilla, se necesitan conocimientos previos de análisis complejo, de funciones analíticas, holomorfas, enteras, etc.
Si buscas el teorema fundamental del álgebra en la wikipedia allí tienes la demostración.
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_%C3%A1lgebra
Poco tengo que comentar porque la verdad es que no manejo el tema.
Pero una vez damos por supuesto que posee n raíces complejas vamos con el resto. Ya te decía ayer en otro problema que si un polinomio con coeficientes reales tiene una raíz compleja también tiene a su conjugada como raíz.
Sea r = a+bi raíz de P(z) = c0 + c1·z + c2·z^2 +...+ cm·z^m
Tomemos un monomio cualquiera y veamos su evaluación para r y para la conjugada
cm·(a+bi)^m = cm[a^m + m·a^(m-1)bi + C(m,2)·a^(m-2)(bi)^2 + C(m,3)a^(m-3)(bi)^3+.....]
cm·(a-bi)^m = cm[a^m - ma^(m-1)bi + C(m,2)a^(m-2)(bi)^2 - C(m,3)a^(m-3)(bi)^3 +...]
Aquellos sumandos donde bi esta elevado a exponente par se transforman en sumandos reales y vemos que son los mismos en la evaluación de r y la conjugada. Donde bi está elevado a exponente impar da un sumando imaginario que es opuesto en las dos evaluaciones.
Efectuadas las sumas de partes reales e imaginarias dará
cm·(a+bi)^m = cm(u + vi)
cm·(a-bi)^m = cm(u - vi)
Como los coeficientes c0, c1, c2,... son reales tenemos
cm·(a+bi)^m = cm·u + cm·vi = f + gi
cm·(a-bi)^m = cm·u - cm·vi = f - gi
Y sumando las evaluaciones de todos los monomios tendremos
P(a+bi) = c + di
P(a-bi) = c - di
Pero como P(a+bi) = 0 por hipótesis, significa c=d=0 y entonces P(a-bi) también valdrá cero y por lo tanto a-bi es raíz de P(z)
Y finalmente, si P(z) es de grado par y no tiene ninguna raíz real, las tendrá todas no reales, y toda raíz no real es distinta de su conjugada luego poseerá n/2 parejas de raíces conjugadas.
Y eso es todo.