Maestro necesito su ayuda con unas preguntas

Parece algo trivial pero no me salía. Se necesitan unos cuantos resultados previos.

Las propiedades que debe cumplir la operación producto de escalar por vector son

Asociativa a(bu) = (ab)u

El 1 del cuerpo es elemento neutro 1u = u

Distributiva del producto respecto de la suma de vectores a(u+v) = au + av

Distributiva del producto respecto de la suma de escalares (a+b)u = au + bu

De ahí empezamos a deducir algunos resultados

0u = (0+0)u = 0u + 0u

sumamos el opuesto de 0u en ambos lados

0u + (-0u) = 0u + 0u + (-0u)

0 = 0u + 0

i) 0 = 0u

u + (-1)u = 1u + (-1)u = [1+(-1)]u = 0u = 0

Eso significa que (-1)u es el opuesto de u, luego

ii) (-1)u = -u

iii) Si au=0 ==> a=0 ó u=0

Lo demostramos

Si a=0 ya está por el resultado i)

Si a distinto de cero tiene inverso 1/a

(1/a)(au) = 0

[(1/a)a]u = 0

1u=0

u=0

Y ahora vamos ya con lo que nos piden

au = bu

sumamos el opuesto de au

au + (-au) = bu + (-au)

0 = bu + (-au) =

aplicando ii)

bu + (-1)(au) = bu + [(-1)a]u = bu + (-a)u = [b+(-a)]u

luego tenemos

[b+(-a)]u = 0

En el enunciado faltaba decir que x es distinto del vector nulo, ya que si lo es se cumple para todo a y b, luego supondremos que u es distinto de 0. Entonces por iii)

b +(-a) = 0

b + (-a) + a = 0 +a

b+0 = a

b=a

Y eso es todo.