Sistema de ecuaciones diferenciales

He visto varias maneras que usan de resolver este tipo de ejercicios en varios libros y no me aclaro con ninguna...a ver si con una de tus explicaciones de aclaro y me sirve para el desarrollo de sucesivos ejercicios.

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

$$\begin{align}&2(D-2)x+(D-1)y=e^t\\ &(D+3)x+y=0\end{align}$$

siendo D=d/dt el operador diferencial

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Respuesta
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La transformada de Laplace de e^t es 1/(D-1)

Resolvemos el sistema lineal

Despejamos y en la segunda

y=-(D+3)x

y lo sustituimos en la primera

2(D-2)x - (D-1)(D+3)x = 1/(D-1)

(2D-4)x -(D^2+3D-D-3)x = 1/(D-1)

(2D - 4 - D^2 - 3D + D + 3)x = 1/(D-1)

(-D^2-1)x = 1 / (D-1)

x = -1 / [(D-1)(D^2+1)]

y = (D+3) / [(D-1)(D^2+1)]

Y ahora resolvemos cada una de las dos ecuaciones para lo cual hay que descomponer las funciones en suma de otras de las que conozcamos las transformadas.

Para la x tendremos:

$$\begin{align}&x=\frac{a}{D-1}+ \frac{bD+c}{D^2+1}=\\ &\\ &\\ &\frac{a(D^2+1)+(bD+c)(D-1)}{(D-1)(D^2+1)}=\\ &\\ &\\ &\frac{aD^2+a+bD^2-bD+cD-c}{(D-1)(D^2+1)}=\\ &\\ &\\ &\frac{(a+b)D^2+(c-b)D+(a-c)}{(D-1)(D^2+1)}\\ &\\ &\\ &\text {Como el numerador es -1, tenemos 3 ecuaciones:}\\ &\\ &a+b=0\\ &c-b=0\\ &a-c=-1\\ &\\ &\text{Sumando las 3 ecuaciones}\\ &2a=-1 \implies a=-1/2, b=1/2, c=1/2\\ &\\ &x=-\frac{1}{2}\frac{1}{D-1}+ \frac{1}{2}\frac{D+1}{D^2+1}\\ &\end{align}$$

Bueno, no debíamos haber usado la variable x sino otra ya que lo que queremos representar en realidad es la transformada de x.

Lo que haremos ahora es hallar la función inicial de la transformada que es x. De acuerdo con las tablas de transformadas

$$x=\frac{-e^t+sen t+\cos t}{2}$$

Haremos más rápidamente la resolución de la y. Usando los cálculos ya hechos nos plantamos directamente en:

a+b=0

c-b=1

a-c= 3

Sumándolas tenemos:

2a=4 ==> a=2 ==> b=-2 ==> c=-1

$$y(t) = 2e^t-2cost-sent$$

Y como esto no lo manejo desde hace tiempo inmemorial, he revisado la respuesta para asegurarme y cumple las ecuaciones. Luego está bien.

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