Problemas con variables complejas- e

U(x,y) = x + 2x^2 - 6xy - 2y^2 + (1/2)ln(x^2+y^2)

La función conjugada debe cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann

Vy = Ux = 1 + 4x - 6y + (1/2)[1/(x^2+y^2)]·2x = 1 + 4x - 6y + x/(x^2+y^2)

luego V es la integral de esto respecto de y

V = y +4xy - 3y^2 + integral de [x/(x^2+y2) dy] + f(x) =

$$\begin{align}&\int \frac{x}{x^2+y^2}dy = \\ &\\ &\\ &\frac{x}{x^2}\int \frac{dy}{1+\frac{y^2}{x^2}}=\\ &\\ &\\ &\int \frac{\frac 1x}{1+\frac{y^2}{x^2}}= arctg\left(\frac yx\right)\end{align}$$

V = y + 4xy - 3y^2 + arctg(y/x) + f(x) (1)

La f(x) es una función solo de x que es la constante de integración ya que al no depender de y su derivada respecto de y es 0

Y la otra condición de Cauchy-Riemann es:

Vx = -Uy = -[-6x - 4y + y/(x^2+y^2)] = 6x + 4y - y/(x^2+y^2)

Y Vx también se puede calcular derivando respecto de x la función V que calculamos arriba

Vx = 4y - (y/x^2) / [1 + y^2/x^2] + f '(x) =

4y - (y/x^2) / [(x^2+y^2)/ x^2] + f'(x)=

4y - y / (x^2+y^2) + f '(x)

Igualando las dos expresiones de Vx

6x + 4y - y/(x^2+y^2) = 4y - y / (x^2+y^2) + f '(x)

6x = f '(x)

f(x) = 3x^2 +C

Y con este valor de f(x) volvemos a la expresión de V que he marcado con (1)

V = y + 4xy - 3y^2 + arctg(y/x) + 3x^2 + C

Agradezco tu ofrecimiento pero es que debo aprender a hacer estas cosas. Ya me dirás si te daba lo mismo o si lo hiciste de otra forma.