Expresa como seri las funciones

Hay que usar la fórmula de Taylor o McLaurin (en este caso) para hallar los términos de la serie

$$\begin{align}&f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+...\\ &\\ &f(x)= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\end{align}$$

Vamos por tanto a calcular las derivadas sucesivas de la función seno en el punto x=0
sen'(x) = cosx ==> sen'(0) = 1
sen''(x) = - sen(x) ==> sen''(0) = 0
sen'''(x) = -cos(x) ==> sen'''(0) = -1
sen''''(x) = sen(x) ==> sen''''(0) = 0
Y ya hemos vuelto a la función seno, luego las derivadas vuelven a repetirse. Entonces comenzando desde la derivada 0 (que es la propia función) los coeficientes de los términos son
0 ----> 0
1 ----> 1
2 ----> 0
3 ----> -1
4 ----> 0
5 ----> 1
6 ----> 0
7 ----> -1
Con todo esto la serie es

$$sen\,x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$$

La forma de que no aparezcan los términos impares es usar una función de 2n+1
y la forma de que los que salen tengan signos alternos es usar el (-1)^n

$$sen\,x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

Y eso es todo.