Problema de Aplicación de la derivada

Si, hay que usar la teoría de máximos y mínimos.

Hay que minimizar la función coste C(h, r)

Si la lata tiene altura h y radio r tendremos:

El área lateral es

h·2·Pi·r

Y la de las dos bases

2·Pi·r^2

Luego el coste será

C(h,r) = 40Pi·r·h + 60Pi·r^2

Supongo que no has dado máximos y mínimos con múltiples variables, luego vamos a transformar la función en una función de una variable

V = Pi·r^2·h = 1000

h = 1000/(Pi·r^2)

sustituyendo en la función

C(r) = 40Pi·r·1000/(Pi·r^2) + 60Pir^2 = 40000/r + 60Pir^2

Derivamos e igualamos a 0

C'(r) = -40000/r^2 + 120·Pi·r = 0

Multiplicamos por r^2

-40000 + 120·Pi·r^3 ==

120·Pi·r^3 = 40000

r^3 = 40000/(120Pi) = 1000/(3Pi)

r = [1000/(3Pi)]^(1/3) = 10/[(3Pi)^(1/3)]

Mejor lo escribimos con el editor para que lo veas claro

$$\begin{align}&r = \frac{10}{\sqrt[3]{3\pi}}\approx 4.734160282 cm\\ &\\ &\\ &h= \frac{1000}{\pi r^2}= \frac{1000}{\pi \left(\frac{10}{\sqrt[3]{3\pi}}\right)^2}=\\ &\\ &\frac{1000}{\frac{100\pi}{\sqrt[3]{9\pi^2}}}=\frac{10 \sqrt[3]{}9 \pi^2}{\pi}=10 \sqrt[3]{\frac{9}{\pi}}\approx 14.20248085cm\end{align}$$