Problemas de transformaciones lineales 2
Determinar una transformación lineal, utilizando u argumentando a través de los axiomas o propiedades de las transformaciones lineal, para ello:
determina si la transformación dada de V en W es lineal:
x x - y + z
1.- T: R^3 ---> R^2 T [ y] = [ -2x + 2y - 2z]
z
También encuentra la representación matricial At y la imagen (el rango) de la transformación lineal dada.
1 Respuesta
Creo que era a ti a quien te decía la dificultad de escribir los vectores en columna, por eso los escribiré en linea.
Esta transformación si que tiene toda la pinta de una aplicación lineal, vamos a demostrar que cumple los dos axiomas. Bueno previamente se tiene que comprobar que es una aplicación, lo cual está clara a cada vector (x, y, z) le corresponde una y solo una imagen en R2
Veamos que T(u+v) = T(u)+T(v)
T[(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)] =
T(x1+x2, y1+y2, z1+z2) =
(x1+x2 - (y1+y2) + z1+z2 , -2(x1+x2) + 2(y1+y2) - 2(z1+z2)) =
(x1-y1+z1 , -2x1+2y1-2z1) + (x2-y2+z2 , -2x2+2y2-2z2) =
T(x1,y1,z1) + T(x2,y2,z2)
y veamos que T(ku) = k·T(u)
T[k(x1,y1,z1)] =
T(kx1,ky1,kz1) = (kx1-ky1+kz1 , -2kx1 + 2ky1 - 2kz1) =
(k(x1-y1+z1) , k(-2x1+2y1-2z1)) =
k(x1-y1+z1 , -2x1+2y1-2z1)=
k·T(x1,y1,z1)
Luego es una aplicación lineal.
La representación de la aplicación es una matriz donde las columnas son la imagen de una base de de R3 por la aplicación. Cuando yo estudiaba se llamaban aplicaciones lineales por eso lo digo a todas horas.
Entonces tomamos la base canónica de R3
T(1,0,0) = (1,-2)
T(0,1,0) = (-1,2)
T(0,0,1) = (1,-2)
la matriz de la transformación es
(1 -1 1)
(-2 2 -2)
El rango es el espacio vectorial formado por las imágenes de la base, eso se cumple por ser una aplicación lineal
Y el espacio vectorial generado por estas tres imágenes es de dimensión 1, las tres son iguales o proporcionales, luego solo sirve una.
El rango será el espacio vectorial generado por (1,-2)
Rag T = {(t,-2t) | t€R}
Y eso es todo.
