Acelerar convergencia raíz método de Newton-Raphson por la sucesión de Aitken?

Buen dia.

Tengo la siguiente hoja de calculo
http://sdrv.ms/10COVbL
En ella se encuentra la aproximación de una raíz de f(x) por el método de Newton-Raphson. Como se puede acelerar con la sucesión del método de aitken?

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Respuesta
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Yo no sé como se trabaja con la hoja en la nube. No se si puedo modificarlo y que tu lo recibas modificado y no encuentro los menús de Excel ahí. Creo que sería mejor que me mandaras el libro por correo y así podría trabajar con ella en Excel y luego devolvértelo con el método.

El método sería el de Steffensen que usa la sucesión de Aitken

Reseña Breve

Reseña amplia pagina 60

Mi correo es Va[email protected]

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Hola Valero.

Ya te envie el libro, de antemano gracias

Estoy haciendo el método ahora. Pero si conoces este tipo de métodos sabrás que a la vez que pueden ser muy convergentes pueden ser de lo más divergentes del mundo. Este tipo de métodos de la tangente necesitan una aproximación inicial bastante buena a la respuesta sino lo que pueden hacer es irse al infinito. El problema se magnifica aun más con el método de Aitken- Steffensen, aparecen denominadores cero y los valores se hacen muy grandes o da error de división por cero.

Tendré que hacer el método pero no se puede empezar con el valor inicial 6 tendrá que ser un valor más próximo a la respuesta. Si no el método diverge y no se consigue nada.

Si lo estás leyendo ahora puedes comentármelo.

Pues ya lo tengo, ha sido muy sencillo a partir de lo que ya tenías. El método consiste en hacer dos iteraciones con el método de Newton y generamos un valor nuevo a partir de esos dos, luego otras dos con Newton y una con Aitken, y así hasta que se termine.

Por ejemplo, empezamos con el valor inicial x1, generamos x2 y x3 con el método de Newton y generamos x4 con esta fórmula

x4 = x1 - (x2-x1)^2 / (x3-2x2+x1)

x5 y x6 los calculamos con Newton y x7 así

x7 = x4 - (x5-x4)^2 / (x6-2x5+x4)

Los dos pasos con Newton y un con Aitken serían un paso del método de Steffensen por lo que la convergencia solo debería estudiarse al calcular x4, x7, x10 y sería

F4 - f1

F7 - f4

F10 - f7

No obstante he dejado también la convergencia entre cada fila porque es interesante verla

Este método consigue aproximaciones muy rápidas a veces y enseguida se hace próximo a cero el denominador x3-2x2+x1 por lo que aparecen mensajes de error. Si quieres haz que no aparezcan, pero yo prefiero que aparezcan para verlos.

Y como decía en la respuesta anterior, estos métodos necesitan partir de una respuesta próxima, en concreto he comprobado que para obtener respuesta el valor inicial debe estar comprendido entre

-1.55 <= x1 <= 0.73

Una centésima que te salgas ya no da con la respuesta.

El método es mejor que el simple de Newton en general, aunque por ejemplo, para ese valor límite que hemos puesto de -1.5:

Newton daba convergencia en x16, Aitken con convergencia antigua en 18 y con convergencia solo Aitken en 22

Pero partiendo de un valor próximo como - 0.30

Newton da f(x) = 0 en x18 y Aitken en x7

Es cuestión de que pruebes con distintos valores. Además se que que podrás mejorar el libro, ya he visto que eres experto en Excel.

Ahora te mando el libro, Si necesitas más explicaciones pídemelas.

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